针对您提出的问题，即没有结婚证但有出生证明是否可以不做亲子鉴定就给孩子随爸爸上户口，这主要取决于当地的户籍管理政策。以下是我为您提供的详细解答：
一、一般情况下的处理原则
在我国，出生证明是办理新生儿入户的重要材料，它记录了孩子的出生信息以及父母的基本信息。在大多数情况下，如果出生证明信息完整、真实，且能够充分证明孩子与父母的关系，那么它就可以作为上户口的依据。因此，在一般情况下，有合法有效的出生证明即可为孩子办理户口登记，无需额外进行亲子鉴定。
二、特殊情况下的处理要求
然而，也存在一些特殊情况，这些情况下可能需要进行亲子鉴定以确认真实的亲子关系：
非婚生育：虽然您有出生证明，但父母双方没有婚姻关系。在这种情况下，部分地区可能会要求提供亲子鉴定证明，以确认孩子与申报户口一方的亲子关系。这是因为非婚生育在户籍管理上可能涉及更多的法律和社会问题，需要更严格的审核。
出生证明信息有误或存在疑虑：如果出生证明上的父母信息与实际情况不符，或者存在其他疑虑（如出生证明的开具过程存在不规范因素），户籍管理部门可能会要求进行亲子鉴定，以确认真实的亲子关系。
地区政策差异：不同地区的户籍管理政策存在差异，对于非婚生育孩子上户口的要求也不尽相同。有些地区政策相对宽松，可能无需额外做亲子鉴定；而有些地区则要求更为严格。
三、建议与操作指南
咨询当地户籍管理部门：由于户籍管理政策存在地区差异，我建议您首先咨询当地的户籍管理部门或派出所，了解具体的上户口要求和流程。他们会根据当地的规定和政策，给出最准确的指导和建议。
准备必要材料：根据当地政策要求，准备齐全所有必要的材料，包括出生证明、身份证、户口本等。如果当地政策要求提供亲子鉴定报告，您也需要提前了解并准备。
选择正规鉴定机构：如果需要进行亲子鉴定，应选择具有合法资质的鉴定机构进行鉴定，并确保鉴定结果的准确性和有效性。
保持沟通：在整个办理过程中，保持与户籍管理部门的沟通，确保所有材料的真实性和完整性，以便顺利为孩子办理户口登记。
综上所述，没有结婚证但有出生证明的情况下，是否可以不做亲子鉴定就给孩子随爸爸上户口，完全取决于当地的户籍管理政策。因此，我建议您在办理前务必咨询当地相关部门，了解具体要求和流程，并准备相应的材料以确保顺利办理。