结论：公司能否因员工请病假三个月后仍不能上班而辞退该员工，取决于多个因素，包括医疗期的长短、员工能否从事原工作或另行安排的工作，以及公司是否遵循了法定程序等。不能一概而论说公司能或不能辞退，需要分情况讨论。
一、医疗期内的保护
医疗期规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，员工享有法定的医疗期。医疗期的长短通常根据员工的实际工作年限和在本单位的工作年限来确定，范围从三个月到二十四个月不等。
- 在医疗期内，用人单位不得随意解除劳动合同。这是法律对员工在患病或非因工负伤期间的特殊保护。
合同解除限制：
- 即使劳动合同期满，若员工仍在规定的医疗期内，劳动合同应延续至医疗期满或医疗终结。
- 只有在特定情况下，如员工被证明不能从事原工作也不能从事由用人单位另行安排的工作时，用人单位才可以依法解除劳动合同，但需提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付一个月工资。
二、医疗期满后的处理
员工能够返回工作岗位：
- 若员工医疗期满后能够返回工作岗位并提供有效的康复证明，用人单位应安排其复工。
员工无法从事原工作：
- 若员工无法从事原工作，用人单位可尝试为其调整岗位。
- 若调整后仍无法胜任，且双方未能就变更劳动合同内容达成协议，用人单位可以依据《劳动合同法》第四十条的规定，提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付一个月工资后，解除劳动合同。
- 在此过程中，用人单位需确保程序合法合规，避免违法解除的风险，并支付相应的经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资，超过六个月按一年计算，不满六个月支付半个月工资的经济补偿。
三、特殊情况下的处理
严重违纪或失职：
- 若员工在病假期间存在严重违反用人单位规章制度的行为，或给用人单位造成重大损害，用人单位有权依法解除劳动合同。
欺诈行为：
- 若员工以虚假病假条骗取休假，属于欺诈行为，用人单位可据此解除劳动合同。
四、建议与注意事项
及时沟通：
- 员工应主动向公司说明病情及预计复工时间，必要时提交医疗机构出具的延长治疗证明。
了解公司规章制度：
- 员工应提前了解并遵守公司的规章制度，特别是关于病假和医疗期的相关规定。
保留证据：
- 在处理此类纠纷时，员工应保留好病历、沟通记录等证据，以备不时之需。
法律咨询：
- 如遇争议或不确定的情况，员工应及时咨询专业律师（如我），以维护自己的合法权益。
总结：公司能否因员工请病假三个月后仍不能上班而辞退该员工，并非一个简单的“能”或“不能”的问题。它取决于医疗期的长短、员工能否从事原工作或另行安排的工作，以及公司是否遵循了法定程序等多个因素。因此，在处理此类纠纷时，建议员工和公司都保持谨慎和理性，遵循法律法规的规定，通过协商或法律途径解决争议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。