跨省抓捕的当事人处理方式需根据具体案情、所涉罪名及司法程序阶段综合判断，但总体遵循以下原则：

1. 侦查阶段：核实身份与权利保障

• 身份核实：公安机关跨省抓捕后，需第一时间向当事人出示《拘留证》或《逮捕证》，并告知涉嫌罪名。当事人有权要求核实执法人员身份及法律文书真实性。
• 权利告知：当事人享有沉默权、委托律师权、申请取保候审权等。若未被及时告知，可向驻所检察官或上级公安机关提出异议。
• 家属通知：除无法通知的情形外，公安机关应在拘留后24小时内通知家属，并告知羁押地点。若家属未收到通知，可联系抓捕地公安机关或委托律师查询。

2. 审查起诉阶段：证据审查与辩护介入

• 证据合法性审查：若当事人认为抓捕程序违法（如超期羁押、刑讯逼供），可向检察院提出非法证据排除申请，要求审查证据合法性。
• 律师辩护权：当事人有权委托律师阅卷、会见，并针对罪名和量刑提出辩护意见。若经济困难，可申请法律援助。
• 认罪认罚从宽：若当事人自愿认罪认罚，可与检察院协商量刑建议，法院一般会采纳。但需谨慎评估证据充分性，避免误判。

3. 审判阶段：程序公正与实体辩护

• 管辖权异议：若认为抓捕地法院无管辖权（如犯罪地、居住地不在该地），可在开庭前提出管辖权异议，由上级法院裁定。
• 量刑情节辩护：结合自首、立功、退赃等情节，争取从轻或减轻处罚。例如，跨省抓捕中若当事人主动配合调查，可强调悔罪表现。
• 上诉权：若对一审判决不服，可在10日内向上一级法院上诉。二审法院会全面审查事实和法律适用，可能改判或发回重审。

4. 特殊情形处理

• 错抓错捕：若最终不构成犯罪，当事人可申请国家赔偿，包括人身自由赔偿金、精神损害抚慰金等。赔偿标准按《国家赔偿法》执行。
• 涉外案件：若当事人为外国人，需通过外交途径通知其驻华使领馆，并保障其使用本国语言参与诉讼的权利。
• 未成年人案件：若当事人未满18周岁，需通知法定代理人到场，并优先适用不公开审理、封存犯罪记录等特殊保护措施。

行动建议：

1. 立即委托律师介入，了解案情并制定辩护策略；
   
2. 收集无罪、罪轻证据（如不在场证明、立功材料）；
   
3. 关注程序合法性，及时提出异议（如超期羁押、非法取证）；
   
4. 若经济困难，可向当地法律援助中心申请免费律师。
   

如有具体案情或细节需要进一步分析，可直接向我咨询。