关于分期履行的行政处罚非诉执行的期限计算，这确实是一个涉及多个环节和明确时间规定的复杂问题。以下是我为您详细梳理和分析的执行期限计算方式：
一、申请执行期限
一般规定：
- 根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国行政诉讼法〉的解释》第一百五十六条，行政机关在作出具体行政行为（如行政处罚）后，若公民、法人或其他组织在法定期限内既未提起行政诉讼，也未履行该行为，行政机关有权向人民法院申请强制执行。
- 申请执行的期限通常为被执行人的法定起诉期限届满之日起三个月内（即180日内）。例如，若行政处罚决定中规定的当事人法定起诉期限为6个月，那么在这6个月届满后的3个月内，行政机关需向人民法院提出强制执行申请。
特殊情况：
- 如果行政机关在作出行政行为时未明确告知当事人起诉期限，那么起诉期限将从当事人知道或应当知道起诉期限之日起计算，但最长不得超过自知道或应当知道行政行为内容之日起的一年。在此基础上，再按照上述“三个月内提出申请”的规定来计算申请执行期限。
二、分期履行情况下的特殊考虑
对于分期履行的行政处罚，执行期限的计算会更为复杂。关键在于明确每一期履行的期限以及整体履行的最后期限。
每期履行期限：
- 行政处罚决定中通常会明确每期履行的具体金额和期限。行政机关应在每期履行期限届满后，检查被执行人是否已履行。若未履行，且该期履行期限已超过法定起诉期限，则行政机关可就该期未履行部分申请强制执行。
整体履行最后期限：
- 除了关注每期履行期限外，还需关注整体履行的最后期限。若被执行人在整体履行的最后期限内仍未完全履行，且该期限已超过法定起诉期限，则行政机关可就剩余未履行部分申请强制执行。
三、法院审查与执行期限
审查期限：
- 法院在受理行政机关的申请后，应在30日内由行政审判庭组成合议庭对具体行政行为的合法性进行审查，并就是否准予强制执行作出裁定。
执行期限：
- 一旦法院裁定准予执行，负责强制执行的机构应着手执行。根据常规规定，人民法院受理行政非诉执行案件后，一般应当在立案之日起6个月内执结。
- 若案件因特殊情况（如复杂的财产清查、评估、拍卖等程序，或多方当事人争议需要协调解决）导致在6个月内无法执结，经本院院长批准，可以延长执行期限，一般为3个月。若还需进一步延长，则需报上级人民法院批准。
四、实际操作建议
- 密切关注时间节点：行政机关和被执行人都应密切关注各阶段的时间节点，包括每期履行期限、整体履行最后期限、申请执行期限以及法院审查和执行期限等。
- 及时沟通协商：在执行过程中，行政机关和被执行人应保持沟通，协商解决可能遇到的问题，以避免不必要的法律纠纷和执行延误。
- 寻求专业法律帮助：对于复杂的分期履行行政处罚非诉执行案件，建议寻求专业律师的帮助，以确保自身权益得到有效保障。
综上所述，分期履行的行政处罚非诉执行的期限计算是一个涉及多个环节和明确时间规定的复杂过程。希望以上分析能对您有所帮助。如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请随时咨询。