公司员工开车受伤，责任的承担需根据具体情况判断，主要考虑员工是否在执行工作任务、是否存在故意或重大过失以及公司是否有过错等因素。以下是对此问题的详细分析：

一、员工执行工作任务时受伤

1. 公司承担赔偿责任

   • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。这一原则同样适用于员工因执行工作任务自身受伤的情况，即公司需承担相应的赔偿责任。
   • 适用情形：员工在工作时间或受公司指派，驾驶公司车辆执行工作任务时发生事故受伤，且事故责任不属于员工故意或重大过失导致的，赔偿责任应由公司承担。
   • 举例说明：员工上班期间驾车送货途中发生交通事故受伤，公司需对员工的损害承担赔偿责任，包括医疗费、误工费等。

2. 公司可追偿的情形

   • 法律依据：若员工在驾驶过程中存在故意（如醉酒驾驶）或重大过失（如超速驾驶），导致事故发生并造成自身损害，公司在对外承担赔偿责任后，有权向员工进行追偿。
   • 适用情形：员工因故意或重大过失导致事故，公司承担赔偿责任后，可依据内部规章制度或劳动合同约定，向员工追偿部分或全部损失。

二、员工非执行工作任务时受伤

1. 员工个人承担责任

   • 法律依据：若员工开车受伤与职务无关，则属个人行为，由员工个人承担相应责任。
   • 适用情形：员工下班后私自使用个人车辆或公司车辆（未经公司允许）发生交通事故受伤，公司无需承担责任，由员工个人承担医疗费用等损失。

2. 公司存在过错时的补充赔偿责任

   • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千二百零九条，机动车所有人、管理人对损害的发生有过错的，承担相应的赔偿责任。
   • 适用情形：若公司将车辆交给没有驾驶资格的员工使用，或车辆存在安全隐患未及时维修保养而导致事故发生，公司对事故的发生存在过错，应承担相应的补充赔偿责任。例如，员工私自驾驶存在故障的公司车辆外出受伤，公司若未尽到车辆管理义务，需承担一定责任。

三、涉及第三方过错的情况

• 第三方承担赔偿责任
  • 法律依据：交通事故责任原则。
  • 适用情形：如果交通事故是由第三方过错导致的，如对方驾驶人违章驾驶或道路设施存在缺陷等，那么对方驾驶人或相关责任方也应承担相应的赔偿责任。例如，员工在执行工作任务时被第三方车辆撞击受伤，第三方应承担主要赔偿责任。

四、保险赔偿的优先性

• 保险公司先行赔偿
  • 法律依据：保险合同及交强险、商业险的相关规定。
  • 适用情形：如果公司为车辆购买了交强险和商业险，在保险范围内的赔偿应由保险公司先行承担。超出保险范围的部分，再根据上述责任划分进行承担。例如，员工因执行工作任务发生交通事故受伤，医疗费用等损失可先由保险公司赔偿，不足部分由公司承担。

综合建议

1. 加强车辆管理：公司应确保车辆安全性能良好，定期维修保养，避免将车辆交给无驾驶资格的员工使用。
2. 明确车辆使用规定：制定明确的车辆使用规定，明确员工在非工作时间不得私自使用公司车辆。
3. 及时购买保险：为公司车辆购买足够的交强险和商业险，以减轻潜在的经济负担。
4. 发生事故后及时处理：发生事故后，公司应及时与保险公司沟通理赔事宜，并咨询专业律师以明确法律责任和追偿权利。

若您或您的公司遇到类似问题，欢迎直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。