结论：针对事业单位作为唯一股东却不召开股东会议、执行董事不履行职责的情况，可以通过明确股东权利与义务、依法行使股东权利、考虑公司治理结构调整以及寻求法律救济等途径来解决。

详细分析：

1. 明确股东权利与义务：

   • 事业单位作为公司的唯一股东，享有《公司法》赋予的股东权利，包括但不限于决定公司的经营方针和投资计划、选举和更换非由职工代表担任的董事、监事，决定有关董事、监事的报酬事项、审议批准董事会的报告等。
   • 同时，股东也有义务遵守公司章程，不得滥用股东权利损害公司或者其他股东的利益，不得利用公司名义从事违法行为等。
   • 事业单位应明确自身作为股东的权利与义务，确保在行使权利时不越权，在履行义务时不推诿。

2. 依法行使股东权利：

   • 尽管事业单位是唯一股东，但仍需按照《公司法》和公司章程的规定行使股东权利，包括召开股东会议。若执行董事不履行职责，不召开股东会议，事业单位可以主动要求召开，或者依据公司章程的规定，自行召集和主持股东会议。
   • 在股东会议上，事业单位可以就公司的经营方针、投资计划、董事选举等重大事项进行表决，确保公司决策符合自身利益。

3. 考虑公司治理结构调整：

   • 如果执行董事长期不履行职责，影响公司正常运营，事业单位可以考虑调整公司治理结构，如更换执行董事或增设监事等，以确保公司决策的有效性和合规性。
   • 在进行治理结构调整时，应遵循《公司法》和公司章程的规定，确保调整程序的合法性和有效性。

4. 寻求法律救济：

   • 如果执行董事的行为严重损害了公司或股东的利益，事业单位可以依据《公司法》的相关规定，向人民法院提起诉讼，要求执行董事承担赔偿责任。
   • 在提起诉讼前，事业单位应收集充分的证据，证明执行董事的不作为或违法行为，以及这些行为对公司或股东造成的损失。

后续行动建议：

• 事业单位应首先审查公司章程，明确股东会议的召开程序和执行董事的职责，确保自身权益不受侵害。
• 若执行董事仍不履行职责，事业单位可以主动召集股东会议，或者依据公司章程的规定，采取其他合法措施来维护自身权益。
• 在必要时，事业单位可以寻求专业法律帮助，以确保自身行动的合法性和有效性。

可能法律后果：

• 如果事业单位作为股东不积极行使权利，可能导致公司决策失误、运营不善，进而损害自身利益。
• 如果执行董事的行为构成违法或违规，可能面临法律责任，包括赔偿损失、被罢免职务等。

如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。