核心结论：在此种情况下，您有权要求房东给予合理搬离时间或就提前解约造成的损失主张赔偿，具体可从以下角度分析并处理：

1. 合同到期后续租一个月的法律性质
   原租房合同到期后，双方未签订新合同但继续履行（您支付一个月房租、房东接受），根据《民法典》第七百三十四条，此时形成不定期租赁合同。不定期租赁合同的特点是：双方均可随时解除合同，但需在合理期限前通知对方（司法实践中通常认为提前15天至1个月通知为合理）。若房东未提前通知即要求您“立马搬走”，可能构成违约。

2. 房东要求“立马搬走”的合法性分析

   • 若房东已提前合理期限通知（如提前15天书面告知），则其要求合法，您需按通知时间搬离，但房东应退还剩余未使用天数的房租（如您已支付整月房租但仅居住10天，房东需退还20天房租）。
     
   • 若房东未提前通知即要求立即搬离，属于违法解除合同。您有权拒绝立即搬离，并可主张以下权利：
     
     • 要求房东继续履行合同至合理期限届满；
       
     • 若因房东行为导致您被迫提前搬离（如停水停电、强制清退），可主张房东赔偿实际损失（如临时住宿费、搬家费等）。

3. 您的应对步骤

   • 第一步：固定证据
     保存原租房合同、续租支付凭证（如转账记录、收据）、房东要求立即搬离的沟通记录（微信、短信、录音等），以证明合同关系及房东违约事实。
     
   • 第二步：与房东协商
     向房东明确指出其未提前通知解除合同的行为违法，要求给予合理搬离时间（如15天）或赔偿损失。协商时可引用《民法典》第七百三十条（不定期租赁合同解除规则）增强说服力。
     
   • 第三步：投诉或诉讼
     若协商无果，可向当地房管部门投诉（部分城市设有租赁纠纷调解窗口），或直接向法院起诉，主张房东继续履行合同或赔偿损失。诉讼成本较低（小额诉讼程序费用约50元），且周期较短（通常3-6个月结案）。

4. 特殊情形提示

   • 若房东以“房屋需自用”“出售”等理由要求立即搬离，需核实其真实性。若房东无法提供合理理由（如未实际出售或自用），可能构成恶意解约，您可主张更高赔偿（如一个月房租作为违约金）。
     
   • 若您已实际搬离，仍可就未退还的房租及损失（如提前解约导致的中介费损失）向房东主张权利。

建议：优先通过协商或投诉解决，若房东态度强硬，可委托律师发送《律师函》敦促其履行义务，或直接起诉。如有进一步证据或细节需要分析，可直接向我咨询。