在分期还款第一期就违约的情况下，债权人通常是有权提起诉讼的，但具体是否会立即起诉还需根据多种因素来综合考虑。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据与合同约定
合同约定：
- 如果双方签订的分期还款合同中明确规定了每期还款的金额、时间，以及违约后的责任和处理方式（例如，合同中可能写明“若乙方任何一期还款逾期超过X日，甲方有权宣布合同项下全部债务立即到期，并要求乙方一次性清偿所有未付款项”），那么在第一期违约时，债权人依据合同条款提起诉讼具有充分的合同依据。
法律规定：
- 即便合同中没有如此明确的约定，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，债务人未按期履行还款义务即构成违约。作为守约方的债权人，其合法权益受到侵害，有权通过诉讼方式要求债务人继续履行合同、支付欠款及相关费用；或者基于债务人违约导致合同目的无法实现等理由，要求解除合同并要求债务人一次性支付剩余全部款项及承担违约责任。
二、实际操作中的考量因素
违约的严重性和后果：
- 如果第一期的违约金额较小，且借款人有明确的还款意愿和计划，债权人可能会倾向于先与借款人进行协商，给予宽限期或采取其他非诉讼方式解决问题，以避免不必要的法律纠纷和成本。
- 若违约金额较大，或者借款人缺乏明确的还款意愿和计划，甚至存在逃避债务的行为，债权人则更有可能选择通过法律途径追讨欠款，以保护自身权益。
诉讼的成本和时间：
- 提起诉讼需要耗费时间和金钱，包括律师费、诉讼费、执行费等。因此，债权人在决定是否起诉前会对这些成本进行综合评估，考虑是否值得通过法律途径来解决问题。
三、建议与行动指南
固定证据：
- 在起诉前，债权人应确保已固定好相关证据，如分期还款合同、债务人违约未支付第一期款项的记录（转账记录、还款提醒通知等），以便在诉讼中更好地维护自己的权益。
沟通协商：
- 面临分期还款第一期违约的情况时，建议债务人尽快与债权人进行沟通，寻求解决方案，如提出延期还款、分期还款等计划，以避免可能的法律纠纷。同时，表现出积极的还款意愿有助于缓解紧张关系并可能避免诉讼的发生。
法律咨询：
- 在涉及法律问题时，及时咨询专业律师以获取准确的法律意见和指导是非常重要的。这可以帮助债权人或债务人更好地理解自己的权利和义务，并采取合适的行动来解决问题。
综上所述，虽然分期还款第一期违约时债权人通常有权提起诉讼，但实际操作中是否立即起诉需根据具体情况来决定。通过综合考虑合同约定、法律规定、违约的严重性和后果以及诉讼的成本和时间等因素，债权人可以做出更为明智和合理的决策。