在分期还款第一期就违约的情况下，您作为债权人确实通常是有权提起诉讼的，但具体是否会立即起诉，还需根据多种因素来综合考虑。以下是我为您详细梳理的分析和建议：
一、法律依据与合同约定
合同条款：
- 如果您与借款人签订的分期还款合同中，明确规定了每期还款的金额、时间，以及违约后的责任和处理方式（例如：“若乙方任何一期还款逾期超过X日，甲方有权宣布合同项下全部债务立即到期，并要求乙方一次性清偿所有未付款项”），那么在第一期违约时，您依据合同条款提起诉讼将具有充分的合同依据。
法律规定：
- 即便合同中没有如此明确的约定，根据《民法典》等相关法律规定，债务人未按期履行还款义务即构成违约。作为守约方的您，其合法权益受到侵害，有权通过诉讼方式要求债务人继续履行合同、支付欠款及相关费用；或者基于债务人违约导致合同目的无法实现等理由，要求解除合同并要求债务人一次性支付剩余全部款项及承担违约责任。
二、实际操作中的考量因素
违约的严重性和后果：
- 如果第一期的违约金额较小，且借款人有明确的还款意愿和计划，您可能会倾向于先与借款人进行协商，给予宽限期或采取其他非诉讼方式解决问题。
- 若违约金额较大，或者借款人缺乏明确的还款意愿和计划，甚至存在逃避债务的行为，您则更有可能选择通过法律途径追讨欠款以保护自身权益。
诉讼的成本和时间：
- 提起诉讼需要耗费时间和金钱，包括律师费、诉讼费、执行费等。因此，在决定是否起诉前，您需要对这些成本进行综合评估，确保诉讼的性价比。
三、建议与行动指南
固定证据：
- 在起诉前，您应确保已固定好相关证据，如分期还款合同、债务人违约未支付第一期款项的记录（转账记录、还款提醒通知等），以便在诉讼中更好地维护自己的权益。
沟通协商：
- 面临分期还款第一期违约的情况时，建议您尽快与借款人进行沟通，寻求解决方案。表现出积极的还款意愿和提出可行的还款计划有助于缓解紧张关系，并可能避免诉讼的发生。
法律咨询：
- 在涉及法律问题时，及时咨询专业律师以获取准确的法律意见和指导是非常重要的。律师可以帮助您更好地理解自己的权利和义务，并采取合适的行动来解决问题。
综上所述，虽然分期还款第一期违约时您作为债权人通常有权提起诉讼，但实际操作中是否立即起诉需根据具体情况来决定。通过综合考虑合同约定、法律规定、违约的严重性和后果以及诉讼的成本和时间等因素，您可以做出更为明智和合理的决策。