结论前置：第三次劳动合同到期后，用人单位未提前30天通知不续签的情况下，劳动者是否享有补偿需根据具体情况判断。若用人单位不续签且劳动者符合签订无固定期限劳动合同条件，则用人单位需支付二倍经济补偿金；若劳动者主动不续签且用人单位无过错，则无需补偿；但若用人单位降低待遇导致劳动者不续签，则需支付经济补偿。
详细分析
一、用人单位不续签的情况
法律依据：
- 根据《劳动合同法》第十四条，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等情形的，续订劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
- 根据《劳动合同法》第四十六条，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同期满终止的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
补偿标准：
- 经济补偿：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 违法终止赔偿：若劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件，而用人单位拒绝续签，属于违法终止劳动合同。此时，劳动者有权要求用人单位按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
示例：
- 假设劳动者在用人单位工作了5年，月平均工资为8000元，则经济补偿为5×8000=40000元。若用人单位违法终止劳动合同，则赔偿金为40000×2=80000元。
二、劳动者不续签的情况
无需补偿：
- 若劳动者主动拒绝续签，且用人单位不存在未依法缴纳社会保险费等法定过错情形，则用人单位无需支付经济补偿。
需要补偿：
- 若续签时用人单位降低了原劳动合同约定的条件（如降低工资、减少福利待遇等），导致劳动者不同意续签，用人单位应当支付经济补偿，标准同上。
实际操作建议
保留证据：
- 劳动者应保留好与用人单位签订的劳动合同、工资单、考勤记录等证据，以便在发生争议时维护自己的合法权益。
协商解决：
- 在劳动合同到期前，劳动者可以与用人单位进行协商，就续签劳动合同的事宜达成一致意见。
申请仲裁或诉讼：
- 如果用人单位拒绝续签劳动合同并拒绝支付赔偿金，劳动者可以向当地劳动人事争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
总结
第三次劳动合同到期后，补偿的支付取决于具体情形。用人单位若不续签且劳动者符合无固定期限合同条件，则需支付高额赔偿金；若劳动者因用人单位降低待遇而不续签，用人单位同样需支付经济补偿。反之，若劳动者主动不续签且用人单位无过错，则无需支付任何补偿。因此，在处理此类问题时，应仔细审查双方的具体情况和合同约定，以确保合法权益得到妥善保护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。