结论：在母亲病逝、父亲再婚且有欠账的情况下，子女是否有责任还款，需根据债务的性质、形成时间以及子女是否继承遗产等多个因素来综合判断。以下是对此问题的详细分析：

1. 债务性质与形成时间：

   • 个人债务：如果债务是父亲再婚前个人所负，且未用于家庭共同生活或生产经营，那么这通常被视为父亲的个人债务。在这种情况下，子女（除非继承了父亲的遗产）通常没有义务偿还这笔债务。
   • 共同债务：如果债务是父亲再婚前与母亲共同所负，或者再婚后与新配偶共同所负，且用于家庭共同生活或生产经营，那么这可能被视为家庭共同债务。然而，即使如此，子女也仅在继承遗产的范围内承担偿还责任。

2. 子女是否继承遗产：

   • 未继承遗产：如果子女明确表示放弃继承父亲的遗产，或者父亲没有留下任何遗产，那么子女就没有义务偿还父亲的债务。
   • 继承遗产：如果子女继承了父亲的遗产，那么根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，子女需要在继承的遗产实际价值范围内承担被继承人（即父亲）的债务偿还责任。这意味着，子女只需用继承的遗产来偿还债务，超出遗产实际价值的部分，子女没有义务偿还。

3. 特殊情况：

   • 恶意逃避债务：如果父亲在生前通过转移财产等方式恶意逃避债务，且子女知道或应当知道这种情况，那么子女可能需要在一定范围内承担偿还责任。但这需要具体的证据来支持，且情况较为复杂。
   • 子女作为共同借款人或担保人：如果子女在父亲借款时作为共同借款人或担保人签字，那么无论债务是否用于家庭共同生活，子女都可能需要承担偿还责任。

法律建议：

• 对于子女而言，如果面临此类情况，首先应了解债务的具体性质、形成时间以及是否用于家庭共同生活或生产经营。
• 其次，要明确自己是否继承了父亲的遗产，以及继承的遗产价值多少。
• 如果对债务情况或遗产情况有疑问，建议咨询专业律师，以便更准确地了解自己的权利和义务。

可能法律后果：

• 如果子女被错误地要求偿还债务，且没有采取适当的法律措施来保护自己，可能会面临不必要的经济损失。
• 另一方面，如果子女确实需要偿还债务（如继承了遗产且债务未超出遗产价值），但拒绝偿还，可能会面临法律诉讼和强制执行等后果。

总之，子女是否有责任偿还父亲的债务，需根据具体情况来判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。