在我国法律中，亲生父女关系是无法通过法律程序或其他方式人为断绝的，因此不存在“法律断绝父女关系后子女有什么权利”这一特定情境下的直接答案。不过，我可以从亲生父女关系不可断绝的法律背景出发，为你详细解释子女在法律上始终享有的权利：

1. 抚养与赡养的权利与义务：

   • 子女享有被抚养的权利：根据《中华人民共和国民法典》第一千零六十七条，父母对未成年子女有抚养教育的义务。这意味着，无论父母与子女之间关系如何，父母都有责任为未成年子女提供必要的生活、教育和医疗条件。此义务不因任何“断绝关系”的声明而免除。
   • 子女对父母有赡养的义务：同样依据该条款，成年子女对缺乏劳动能力或者生活困难的父母有赡养扶助的义务。这包括提供经济支持、生活照料和精神慰藉等。此义务也不因双方声明“断绝关系”而消失。

2. 继承的权利：

   • 子女是法定第一顺序继承人：在法定继承中，父母与子女互为第一顺序继承人。《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条规定，遗产按照配偶、子女、父母的顺序继承。这意味着，无论父女关系如何，子女都有权继承父母的遗产（在符合法定继承条件的情况下）。

3. 关于收养与继父女关系的特殊情况：

   • 收养关系的解除：对于养父女关系，如果符合法定条件（如收养人、送养人双方协议解除，或收养人不履行抚养义务等），可以解除收养关系。解除后，养子女与养父母及其他近亲属间的权利义务关系即行消除，但不影响与自然血亲（如生父母）的关系。然而，这并不意味着子女失去了所有权利，他们仍然享有与生父母之间的法定权利与义务。
   • 继父女关系的解除：继父女关系可因生父与继母或生母与继父的离婚，或继子女成年后与继父母关系恶化而解除。解除后，双方之间的权利义务关系也随之终止。但同样，这并不影响子女与生父母之间的法律关系。

4. 实际生活中的建议：

   • 尽管法律上不允许断绝亲生父女关系，但在现实生活中，父女之间可能因各种原因导致关系疏远甚至断绝联系。然而，这并不影响双方之间的法律关系及在必要时应承担的法律责任和义务。因此，我建议通过沟通、协商等方式来解决实际问题，而不是试图通过非法手段断绝关系。

总结来说，亲生父女关系在法律上是无法断绝的，子女始终享有被抚养、赡养和继承等法定权利。在面对父女关系问题时，应寻求合法的解决途径，以维护家庭和谐与社会稳定。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。