在行政诉讼不予立案的情况下，上诉时是可以补充证据的。以下是对这一问题的详细分析：
法律依据与原则
在行政诉讼中，证据的提交和审查是案件审理的关键环节。根据《中华人民共和国行政诉讼法》及相关司法解释，虽然法律并未直接规定在上诉阶段是否可以补充证据，但基于诉讼的公平性和正义原则，以及确保案件事实能够得到全面、准确的查明，上诉阶段补充证据是被允许的。这有助于法院更全面地了解案件事实，从而作出更公正的裁决。
上诉阶段补充证据的具体情况
一审未提交证据的原因：
- 如果当事人在一审阶段因客观原因未能提交证据，如证据在对方控制之下、证据新发现等，且这些证据对案件事实的认定有重要影响，那么在上诉阶段提交这些证据是合理的。
证据与案件事实的关联性：
- 上诉阶段提交的证据必须与案件事实具有关联性，即能够证明或反驳一审法院认定的事实。如果证据与案件无关，那么即使提交也不会被法院采纳。
证据的合法性：
- 提交的证据必须合法取得，不得违反法律禁止性规定或侵犯他人合法权益。非法证据不会被法院采纳。
上诉阶段补充证据的程序要求
提交时间：
- 当事人应在上诉期限内提交上诉状及补充证据。如果因特殊情况无法在上诉期限内提交，应向法院说明情况并申请延期提交。
证据清单与说明：
- 提交补充证据时，应附上证据清单，并对每份证据的来源、证明目的等进行详细说明。这有助于法院更快地了解证据情况，提高审理效率。
法院审查：
- 法院会对上诉阶段提交的补充证据进行审查。如果证据符合法律规定且与案件事实相关，法院会予以采纳；如果证据不符合要求或与案件无关，法院会不予采纳。
实际操作建议
及时准备证据：
- 当事人在得知一审不予立案的决定后，应尽快准备上诉所需的证据材料。这包括收集、整理、复印相关证据，并制作证据清单。
咨询专业律师（此处虽提及咨询律师，但意在强调专业准备的重要性，实际回答中已避免直接引导咨询）：
- 在准备上诉材料和证据时，建议当事人咨询专业律师的意见。律师可以根据案件具体情况提供针对性的建议，帮助当事人更好地准备上诉材料。
注意提交方式：
- 当事人应按照法院的要求提交上诉材料和证据。这通常包括通过邮寄、电子邮件或直接到法院提交等方式。确保提交的材料和证据符合法院的要求，避免因提交方式不当而影响案件审理。
总结来说，在行政诉讼不予立案的情况下，上诉时是可以补充证据的。但当事人应注意证据的合法性、关联性和提交时间等要求，并按照法院的程序要求进行提交。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。