结论：日常开车起步前没有绕车一周压死狗，责任承担需视具体情况而定，可能涉及民事赔偿责任，甚至在某些情况下可能涉及刑事责任（但本案中刑事责任可能性极小）。以下从不同角度进行分析：
一、民事责任角度
过错责任原则：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
- 在此案例中，若因驾驶员未绕车一周检查，导致未能发现并避免压到狗，且该行为与狗的死亡存在因果关系，那么驾驶员可能因存在过错而需承担民事赔偿责任。
赔偿范围：
- 赔偿范围通常包括狗的实际价值损失，以及因狗死亡给狗主人造成的其他直接损失（如医疗费、丧葬费等，但本案中可能主要涉及狗的价值损失）。
- 若狗主人能证明驾驶员存在故意或重大过失，还可能要求赔偿精神损害抚慰金，但这种情况在压死宠物的案件中较为罕见。
责任减轻或免除：
- 若驾驶员能证明自己已尽到合理的注意义务（如虽未绕车一周，但已通过其他方式观察车辆周围情况），或狗主人存在过错（如未对狗进行合理看管，导致狗突然窜出），则驾驶员的责任可能减轻或免除。
二、刑事责任角度（本案中可能性极小）
一般情况：
- 压死狗通常不构成刑事犯罪，因为狗不属于法律保护的“财物”在刑事犯罪意义上的范畴（除非该狗具有特殊价值，如名贵犬种、工作犬等，且价值达到刑事立案标准）。
特殊情况：
- 若驾驶员存在故意碾压狗的行为，且狗的价值较高，可能构成故意毁坏财物罪。但本案中，驾驶员是因未绕车一周而意外压死狗，不存在故意行为，因此不构成此罪。
- 另外，若驾驶员在压死狗后逃逸，且该行为导致更严重的后果（如引发交通事故、阻碍交通等），则可能涉及其他刑事犯罪，但本案中并未提及此类情况。
三、实际建议
驾驶员方面：
- 驾驶员应养成起步前绕车一周检查的好习惯，以避免类似事故的发生。
- 若不幸发生此类事故，应立即停车查看情况，并尝试与狗主人协商解决赔偿事宜。若协商不成，可寻求法律途径解决。
狗主人方面：
- 狗主人应加强对狗的看管，避免狗随意窜出道路，以减少此类事故的发生。
- 若发生此类事故，狗主人应保持冷静，与驾驶员协商赔偿事宜。若协商不成，可收集相关证据（如现场照片、视频、狗的价值证明等），通过法律途径维护自己的合法权益。
总结：日常开车起步前没有绕车一周压死狗，驾驶员可能因存在过错而需承担民事赔偿责任。但具体责任承担需视情况而定，包括驾驶员的过错程度、狗的价值、狗主人的看管情况等因素。若您对此类问题有进一步疑问或需要法律帮助，请直接向我咨询。