结论：病假期间做兼职，公司是否可以开除员工以及公司是否违法，需根据具体情况来判断。如果兼职行为不影响员工病假期间的休息和恢复，且未违反公司规章制度或劳动合同约定，公司一般不得随意开除员工；反之，如果兼职行为违反了相关规定，公司则有权开除员工，且不违法。以下是对此问题的详细分析：

一、病假期间员工的法律保护

根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得依照该法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这一规定旨在保护处于病假等医疗期内员工的合法权益，防止用人单位滥用解除权。因此，在一般情况下，员工在病假期间享有法律保护，公司不得随意辞退。

二、病假期间做兼职的法律风险

1. 劳动合同约定：如果劳动合同中有明确条款禁止员工在病假期间从事兼职工作，那么员工违反该约定将构成违约行为，公司有权依据合同约定追究责任，包括解除劳动合同。

2. 公司规章制度：公司内部管理制度对员工的病假期间行为具有约束力。如果公司规章制度中明确规定了病假期间不得从事兼职工作，员工违反该规定将面临相应的纪律处分，包括被开除。

3. 兼职对病假的影响：如果兼职工作影响了员工的休息和恢复，或者对完成本单位的工作任务造成了严重影响，公司也有权基于劳动者未能尽到勤勉义务等理由解除劳动合同。

三、公司开除员工的合法性判断

1. 合法开除的情形：如果员工在病假期间的兼职行为违反了劳动合同约定、公司规章制度或法律法规，且公司能够提供确凿证据证明这一点，那么公司开除员工的行为是合法的，不构成违法解除劳动合同。

2. 违法开除的情形：如果员工在病假期间的兼职行为并未违反相关规定，且公司无法提供确凿证据证明兼职行为对员工的休息和恢复或本职工作造成了影响，那么公司开除员工的行为可能构成违法解除劳动合同。在这种情况下，员工有权要求公司支付赔偿金。

四、赔偿金的计算与支付

如果公司在员工病假期间违法辞退员工，员工有权要求公司支付赔偿金。赔偿金的计算方式如下：

• 经济补偿标准：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
• 高工资限制：如果劳动者的月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
• 月工资定义：月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

五、建议与指导

1. 了解规定：员工应详细了解相关法律法规、劳动合同约定及公司规章制度中关于病假期间行为的规定，以避免不必要的法律风险。

2. 沟通协商：如果员工在病假期间有兼职需求，应事先与原雇主进行沟通并征得同意，确保兼职工作不会影响病假期间的休息和恢复以及本职工作的完成。

3. 专注恢复：从自身健康和长远利益考虑，员工在病假期间应专注于休息和恢复，确保能够尽快回到工作岗位并保持良好的工作状态。

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