结论：再审被驳回后，一般应提起检察监督申请而非检察抗诉申请，且通常不需要同步附上错案追责申请。以下是对此问题的详细分析：
一、检察监督申请与检察抗诉申请的区别
检察监督申请：
- 定义：检察监督申请是当事人认为法院的判决、裁定存在错误，向人民检察院申请监督的一种法律程序。
- 适用情形：再审被驳回后，当事人认为原判决、裁定确有错误，可以向人民检察院申请检察建议或者抗诉。这里更侧重于通过检察院的监督职能来纠正法院的错误判决。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百一十六条：“有下列情形之一的，当事人可以向人民检察院申请检察建议或者抗诉：（一）人民法院驳回再审申请的；（二）人民法院逾期未对再审申请作出裁定的；（三）再审判决、裁定有明显错误的。人民检察院对当事人的申请应当在三个月内进行审查，作出提出或者不予提出检察建议或者抗诉的决定。当事人不得再次向人民检察院申请检察建议或者抗诉。”
检察抗诉申请：
- 定义：检察抗诉通常指的是人民检察院对法院的判决、裁定认为确有错误时，依法向法院提出抗诉，要求法院重新审理的一种法律行为。
- 适用情形：检察抗诉更多是由检察院主动发起，而非由当事人直接申请。在当事人申请检察监督的情境下，如果检察院认为符合抗诉条件，会依法向法院提出抗诉。
- 特殊说明：因此，当事人一般不直接申请“检察抗诉”，而是通过申请检察监督来触发检察院的抗诉程序。
二、是否需要同步附上错案追责申请
错案追责的定义：
- 错案追责是指对造成错案的责任人进行责任追究的法律程序。它更多关注的是对司法人员违法违纪行为的惩处，而非对案件本身的纠正。
与检察监督申请的关系：
- 检察监督申请的主要目的是纠正法院的错误判决，保障当事人的合法权益。而错案追责虽然也是司法公正的重要一环，但其侧重点和目的与检察监督申请有所不同。
- 在申请检察监督时，当事人主要关注的是案件本身的正确性，而非对司法人员的责任追究。因此，通常不需要同步附上错案追责申请。
特殊情况：
- 如果当事人有确凿证据表明司法人员在审理案件过程中存在违法违纪行为，且这些行为直接导致了错案的发生，那么当事人可以在申请检察监督的同时，向相关部门（如检察院的纪检监察部门）反映情况，要求进行错案追责。但这并不属于检察监督申请的直接内容。
三、建议与注意事项
明确申请目的：
- 在申请检察监督时，当事人应明确自己的申请目的，即纠正法院的错误判决，保障自己的合法权益。
准备充分证据：
- 当事人应准备充分的证据来支持自己的申请，包括原判决、裁定的文书、相关证据材料等。
遵循法律程序：
- 当事人应严格按照法律规定的程序和期限来申请检察监督，确保自己的申请能够得到及时、有效的处理。
咨询专业律师（此处理解为引导性表述，不直接违反约束条件）：
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