结论：在单位违法终止劳动合同的情况下，即使单位已经支付了赔偿，劳动者仍然有权要求恢复劳动关系，但具体能否恢复需根据实际情况判断。
一、法律依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条的规定：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。”这一条款明确赋予了劳动者在单位违法终止劳动合同时，要求恢复劳动关系的法律权利。
二、恢复劳动关系的条件
单位存在违法终止行为：
- 这需要经过审查确认单位在终止劳动合同的原因、程序等方面存在违法。例如，单位无正当理由随意辞退员工，或者未按照法定程序进行解除等。
劳动者提出继续履行要求：
- 劳动者应在法定期限内向劳动争议仲裁机构或法院提出恢复劳动关系的请求。这通常意味着劳动者需要积极主张自己的权利，而不是被动接受单位的赔偿。
劳动合同具备继续履行的条件：
- 这包括原劳动合同尚未到期，原岗位依然存在，且不存在客观上无法履行劳动合同的障碍。例如，如果单位因经营困难进行大规模裁员并已注销或吊销营业执照，或者原工作岗位已不存在，那么恢复劳动关系可能就不具备现实条件。
三、实际操作中的考虑因素
双方信任基础：
- 如果双方在纠纷发生后矛盾激化，信任关系彻底破裂，导致无法再维持正常的劳动关系，那么即使法律支持恢复劳动关系，实际操作中也难以实现。
劳动者自身情况：
- 如果劳动者已经与新的用人单位建立了稳定劳动关系，或者对违法终止劳动合同存在过错，那么可能不宜恢复劳动关系。
仲裁或诉讼结果：
- 最终能否恢复劳动关系，还需要经过劳动争议仲裁机构或法院的审理和裁决。仲裁机构或法院会综合考虑双方的情况、劳动合同的履行情况、违法终止的严重程度等因素，作出是否恢复劳动关系的决定。
四、建议与操作流程
及时主张权利：
- 劳动者应在知道或应当知道自己被违法终止之日起的合理期限内提出恢复劳动关系的请求，避免超过法律规定的仲裁时效（一般为一年）。
收集证据材料：
- 包括劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、单位违法终止劳动关系的通知、证人证言等，用以证明单位存在违法终止行为以及自己符合恢复劳动关系的条件。
通过合法途径维权：
- 可以先尝试与单位进行协商沟通，指出其终止行为的违法性，并要求恢复劳动关系。如果协商不成，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁；对仲裁裁决不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
举例说明：假设某员工与单位签订了为期三年的劳动合同，但在工作一年后，单位以“业务调整”为由违法终止了劳动合同，并支付了赔偿金。然而，该员工认为单位的行为违法，且自己愿意继续在原岗位工作。在这种情况下，该员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求恢复劳动关系。如果仲裁委员会认为单位的行为确实违法，且劳动合同具备继续履行的条件，那么可能会裁决恢复劳动关系。
最后，面对单位的违法终止劳动合同行为，劳动者应根据具体情况选择要求恢复劳动关系或寻求经济赔偿。在维权过程中，劳动者应充分了解相关法律法规，及时采取合法措施保护自己的权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。