不移交刑事案件罪主要由检察机关（人民检察院）负责管辖和监督。以下是对此问题的详细解析：

1. 罪名性质与管辖原则：

   • 不移交刑事案件罪，是指行政执法人员徇私舞弊，对依法应当移交司法机关追究刑事责任的案件不移交，情节严重的行为。这属于职务犯罪的一种，通常涉及公职人员的渎职行为。
   • 根据我国刑事诉讼法的规定，职务犯罪一般由检察机关负责侦查和起诉。检察机关作为国家的法律监督机关，有权对行政执法人员的违法行为进行监督，并依法提起公诉。

2. 检察机关的职责：

   • 检察机关在发现行政执法人员存在不移交刑事案件的行为时，会进行初步调查，收集相关证据。
   • 如果证据充分，检察机关会依法对涉案人员提起公诉，追究其刑事责任。
   • 同时，检察机关还会对行政执法机关的执法活动进行监督，确保其依法履行职责，及时将涉嫌犯罪的案件移交司法机关。

3. 其他相关部门的协作：

   • 虽然检察机关是不移交刑事案件罪的主要管辖机关，但其他相关部门如公安机关、监察机关等也可能在特定情况下参与调查和处理。
   • 例如，如果案件涉及严重的暴力犯罪或危害国家安全等情形，公安机关可能会提前介入调查。
   • 监察机关则负责对公职人员的违纪违法行为进行调查和处理，如果发现行政执法人员存在不移交刑事案件的行为，也会将其移送检察机关依法处理。

4. 法律后果与责任：

   • 行政执法人员若触犯不移交刑事案件罪，将依法承担刑事责任。根据《中华人民共和国刑法》第四百零二条的规定，情节严重的，处三年以下有期徒刑或者拘役；造成严重后果的，处三年以上七年以下有期徒刑。
   • 除了刑事责任外，涉案人员还可能面临行政处分、纪律处分等后果，具体取决于其行为的性质和情节。

建议与提醒：

• 作为行政执法人员，应严格遵守法律法规，依法履行职责，及时将涉嫌犯罪的案件移交司法机关处理。
• 如果发现身边有行政执法人员存在不移交刑事案件的行为，应及时向检察机关或其他相关部门举报，以维护法律的公正和权威。
• 如果你或你身边的人涉及此类法律问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。