当检察院作出不予起诉决定，而公安机关认为该决定有错误时，可以按照以下法定程序申请复议：

一、复议申请的提出

1. 理解不起诉决定：公安机关首先需仔细研读检察院的不起诉决定书，全面理解并掌握不起诉的具体理由和法律依据。这是后续准备复议材料的基础。

2. 准备复议材料：

   • 整理证据与法律依据：公安机关应系统整理案件的相关证据材料和法律依据，以清晰展示案件事实、证据链的完整性以及公安机关对案件定性和处理的观点。这些材料应包括侦查过程中获取的关键证据，以及这些证据如何支持犯罪嫌疑人应当被起诉的论点。
   • 撰写复议申请书：在收到不起诉决定书后7日内，公安机关需制作要求复议的意见书。该意见书应详细阐述要求复议的事实、理由和法律依据，明确指出检察院不起诉决定中的错误或不当之处，并提出公安机关对案件的处理意见和建议。复议申请书需经县级以上公安机关负责人批准后，方可移送同级人民检察院。

3. 提交复议申请：公安机关应将复议申请书及相关证据材料正式递交至作出不起诉决定的同级人民检察院。递交方式应为书面形式，确保复议申请的正式性和有效性。

二、检察院的受理与审查

1. 受理复议申请：同级人民检察院在收到公安机关的复议申请书后，会依法进行受理，并启动复查程序。

2. 全面审查：检察院会对公安机关提交的复议材料进行认真审查，重新审视案件事实、证据以及适用的法律条款。审查过程可能包括调阅案件的全部卷宗材料，重新分析证据的关联性、合法性和证明力，以及再次考量犯罪嫌疑人的行为是否符合犯罪构成要件等。

三、复议决定的作出与通知

1. 复议决定的时间限制：同级人民检察院应在收到复议申请书后的30日以内，经过检察长批准，作出复议决定。

2. 复议结果通知：检察院会将复议决定正式通知公安机关。如果复议决定撤销了原不起诉决定，并作出起诉决定，则案件将进入诉讼程序；如果维持原不起诉决定，公安机关需接受该决定。

四、向上级检察院提请复核

若公安机关对复议决定仍有异议，可以在收到复议决定书后，向上一级人民检察院提请复核。上一级人民检察院将在收到提请复核意见书后的30日以内，经检察长批准，作出复核决定，并通知提请复核的公安机关和下级人民检察院。复核决定为最终决定，公安机关需依法执行。

五、注意事项

• 确保材料齐全、理由充分：公安机关在申请复议时，必须确保提供的材料齐全、理由充分，以支持其复议请求。
• 遵守法定程序：公安机关应严格按照法定程序进行复议申请，确保程序的合法性和有效性。
• 积极配合检察院工作：在复议和复核期间，公安机关应积极配合检察院的工作，提供必要的协助和支持。

总结：公安机关对检察院不予起诉决定的复议程序是一个严谨而高效的法律机制，旨在保障公安机关的合法权益，同时确保法律的正确实施和公正执行。在实际操作中，公安机关应充分利用这一法律机制，维护社会正义和法治秩序。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。