刑事案子检察院不起诉了，公安申请行政复议（实际为要求复议，非行政复议，此处按法律术语准确表述）的主要作用在于确保案件得到公正处理，纠正可能存在的错误不起诉决定。以下从多个角度详细分析：

一、复议程序的目的与意义

复议程序是司法体系中的一项重要监督机制，旨在通过上级或同级司法机关的审查，确保下级司法机关作出的决定合法、公正。在刑事案件中，当公安机关认为检察院作出的不起诉决定存在错误时，可以通过复议程序要求检察院重新审查案件，从而保障犯罪嫌疑人的合法权益，维护社会正义和法治秩序。

二、复议程序的具体流程

1. 明确不起诉理由与依据：公安机关需仔细研读检察院的不起诉决定书，全面理解并掌握不起诉的具体理由和法律依据。

2. 准备复议材料与申请书：

   • 整理证据与法律依据：公安机关应系统整理案件的相关证据材料和法律依据，以清晰展示案件事实、证据链的完整性以及公安机关对案件定性和处理的观点。
   • 撰写复议申请书：在收到不起诉决定书后7日内，公安机关需制作要求复议的意见书，详细阐述要求复议的事实、理由和法律依据，明确指出检察院不起诉决定中的错误或不当之处，并提出公安机关对案件的处理意见和建议。复议申请书需经县级以上公安机关负责人批准后，方可移送同级人民检察院。

3. 提交复议申请：公安机关应将复议申请书及相关证据材料正式递交至作出不起诉决定的同级人民检察院。

4. 检察院的受理与审查：

   • 受理复议申请：同级人民检察院在收到公安机关的复议申请书后，会依法进行受理，并启动复查程序。
   • 全面审查：检察院会对公安机关提交的复议材料进行认真审查，重新审视案件事实、证据以及适用的法律条款。

5. 作出复议决定：

   • 复议决定的时间限制：同级人民检察院应在收到复议申请书后的30日以内，经过检察长批准，作出复议决定。
   • 复议结果通知：检察院会将复议决定正式通知公安机关。如果复议决定撤销了原不起诉决定，并作出起诉决定，则案件将进入诉讼程序；如果维持原不起诉决定，公安机关需接受该决定。

6. 向上级检察院提请复核：若公安机关对复议决定仍有异议，可以在收到复议决定书后，向上一级人民检察院提请复核。上一级人民检察院将在收到提请复核意见书后的30日以内，经检察长批准，作出复核决定，并通知提请复核的公安机关和下级人民检察院。复核决定为最终决定，公安机关需依法执行。

三、复议程序的实际作用

1. 纠正错误不起诉决定：如果检察院的不起诉决定存在错误，如事实认定不清、证据不足或适用法律错误等，复议程序可以促使检察院重新审查案件，从而纠正错误决定，确保案件得到公正处理。

2. 保障犯罪嫌疑人合法权益：复议程序为犯罪嫌疑人提供了一个额外的救济途径。如果犯罪嫌疑人认为检察院的不起诉决定侵犯了其合法权益，虽然其本人不能直接申请复议，但公安机关的复议申请可能间接地为其争取到更公正的处理结果。

3. 维护社会正义和法治秩序：复议程序通过上级或同级司法机关的审查，确保了下级司法机关作出的决定合法、公正，从而维护了社会正义和法治秩序。

总结来说，刑事案子检察院不起诉了，公安申请复议的主要作用在于确保案件得到公正处理，纠正可能存在的错误不起诉决定。公安机关应充分利用这一法律机制，维护社会正义和法治秩序。如果您在刑事案件方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。