行政履职申请并不必须要求申请人存在直接的厉害关系，但具体情形需结合相关法律法规及案件实际情况进行综合判断。以下从不同角度对此问题进行分析：

1. 一般原则：

   • 在行政法律关系中，通常要求申请人与行政行为之间存在一定的法律上的利害关系，这是为了确保行政行为的针对性和有效性，避免行政资源的浪费。然而，这一原则并非绝对，特别是在涉及公共利益或特定法定职责的情况下，即使申请人与行政行为无直接厉害关系，也可能有权提出行政履职申请。

2. 公共利益保护角度：

   • 当行政行为涉及公共利益时，如环境保护、公共卫生、公共安全等领域，任何公民、法人或其他组织都可能基于保护公共利益的目的，向行政机关提出履职申请。这种情况下，申请人无需证明自己与行政行为存在直接的厉害关系。

3. 法定职责角度：

   • 根据相关法律法规，行政机关承担着特定的法定职责。当行政机关未履行或未正确履行这些职责时，任何公民、法人或其他组织都有权依据法律规定，向行政机关提出履职申请，要求其履行法定职责。这种情况下，申请人的身份和与行政行为的厉害关系并非决定性因素。

4. 具体案例分析：

   • 在实践中，存在许多申请人虽与行政行为无直接厉害关系，但基于保护公共利益或维护法律秩序的目的，成功提出行政履职申请并获得支持的案例。例如，在环境保护领域，环保组织或公民个人可能针对企业的违法排污行为，向环保部门提出履职申请，要求其采取措施制止违法行为。

5. 法律建议：

   • 如果您认为行政机关未履行或未正确履行其法定职责，且该行为涉及公共利益或您的合法权益受到间接影响，您有权向行政机关提出履职申请。在提出申请时，建议明确说明申请的理由、依据及期望行政机关采取的具体措施，并附上相关证据材料以支持您的申请。
   • 同时，您也应了解，如果行政机关拒绝履行或未在法定期限内履行职责，您有权依法申请行政复议或提起行政诉讼，以维护您的合法权益。

总结：行政履职申请并不必须要求申请人存在直接的厉害关系，特别是在涉及公共利益或特定法定职责的情况下。如果您认为行政机关未履行其职责，且该行为与您的合法权益或公共利益相关，您有权提出履职申请。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。