针对“楼下店铺开烧烤店物业是否有责任”的问题，结论如下：物业是否承担责任需视具体情况而定，但物业通常负有一定的管理义务，具体分析如下：
一、物业的管理义务来源
物业服务合同：
- 物业服务合同中通常会明确物业公司的管理职责，包括小区的秩序维护、环境卫生管理等。若烧烤店的经营行为（如油烟排放、噪音扰民等）违反了物业服务合同中的相关规定，物业有责任进行制止和管理。
小区管理规约：
- 小区管理规约是全体业主共同遵守的行为准则，可能包含对商业经营活动的限制或禁止条款。若烧烤店的经营行为违反了小区管理规约，物业作为管理方，有义务监督业主遵守规定，并对违规行为进行制止。
法律法规：
- 根据相关法律法规，物业对小区内的公共安全、环境卫生等负有管理责任。若烧烤店的经营行为存在安全隐患（如明火使用不当）或环境污染问题，物业有责任及时采取措施，防止损害的发生或扩大。
二、物业可能承担的责任
管理责任：
- 若物业未履行其管理义务，如未及时制止烧烤店的违规经营行为，导致业主权益受损，物业可能需要承担一定的管理责任。这种责任可能表现为物业费的减免、赔偿损失等。
连带责任：
- 在某些情况下，若物业与烧烤店存在共同侵权行为（如物业明知烧烤店违规经营却未采取措施），物业可能需要与烧烤店承担连带责任，共同赔偿业主的损失。
三、业主的维权途径
与物业沟通：
- 业主可以先与物业沟通，要求物业履行其管理义务，制止烧烤店的违规经营行为。物业有责任对业主的投诉进行及时处理，并反馈处理结果。
向相关部门投诉：
- 若物业未履行其管理义务，业主可以向相关部门投诉，如城管执法部门、环保部门等。这些部门有权对烧烤店的违规经营行为进行查处，并要求物业配合执行。
寻求法律途径救济：
- 若业主的权益受到严重侵害，且物业和相关部门未能有效解决问题，业主可以寻求法律途径救济。这包括委托律师提起诉讼，要求烧烤店停止侵害、排除妨碍并赔偿损失，同时也可以要求物业承担相应的管理责任。
四、具体建议
收集证据：
- 业主在维权过程中，应注意收集烧烤店违规经营的证据，如照片、录音、视频等。这些证据将有助于证明烧烤店的经营行为对业主权益造成了损害。
保持冷静理性：
- 在维权过程中，业主应保持冷静理性，避免采取过激行为。以和平、理性的方式与物业和相关部门沟通，更有助于问题的解决。
及时行动：
- 发现权益受损后，业主应及时采取行动，避免延误时机。及时与物业沟通、向相关部门投诉或寻求法律途径救济，都是有效的维权方式。
总结来说，物业对楼下店铺开烧烤店是否承担责任，需视具体情况而定。但物业通常负有一定的管理义务，若未履行该义务导致业主权益受损，物业可能需要承担相应的责任。业主在维权过程中，应注意收集证据、保持冷静理性并及时行动。如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。