行政机关不履行法定职责，公民、法人或者其他组织在满足一定条件下可以直接向法院提起行政诉讼。以下是对此问题的详细分析：

一、法律依据

根据《中华人民共和国行政诉讼法》第十二条的规定，人民法院受理公民、法人或者其他组织对下列事项提起的诉讼，其中包括“申请行政机关履行保护人身权、财产权等合法权益的法定职责，行政机关拒绝履行或者不予答复的”。这一条款明确赋予了公民、法人或其他组织在行政机关不履行法定职责时提起诉讼的权利。

二、起诉条件

1. 原告资格：原告必须是认为行政机关的不作为行为侵犯其合法权益的公民、法人或者其他组织。这意味着，只有那些与行政机关的不作为行为有直接利害关系的主体，才有资格提起诉讼。
2. 被告明确：被告必须是作出具体行政行为的行政机关或法律、法规授权的组织。在行政机关不作为的情况下，被告就是应当履行职责而未履行的那个行政机关。
3. 有具体的诉讼请求和事实根据：原告需要明确提出自己的诉讼请求，即要求行政机关履行何种职责，并提供相应的事实根据来证明行政机关确实存在不作为的行为。
4. 属于人民法院受案范围和受诉人民法院管辖：原告的起诉必须属于人民法院的受案范围，并且应当向有管辖权的人民法院提出。

三、起诉期限

1. 一般期限：根据《中华人民共和国行政诉讼法》第四十七条的规定，公民、法人或者其他组织在申请行政机关履行保护其合法权益的法定职责后，如果行政机关在接到申请之日起两个月内不履行，当事人可以向人民法院提起诉讼。同时，根据《最高人民法院关于适用<中华人民共和国行政诉讼法>的解释》第六十六条的规定，当事人应当在行政机关履行法定职责期限届满之日起六个月内提出诉讼。
2. 紧急情况：对于紧急情况下请求行政机关履行保护义务而行政机关不履行的，提起诉讼不受上述两个月期限的限制。这一规定既保障了当事人及时行使诉权，也督促了行政机关及时履行职责。

四、起诉流程

1. 准备起诉材料：包括起诉状、证据材料等。起诉状应写明原告、被告的基本信息，诉讼请求，事实与理由等内容。证据材料应包括法律法规文本，证明行政机关的法定职责；申请书复印件、邮寄凭证等，证明已向行政机关提出申请；与行政机关的沟通记录、相关决定等，证明其未履行职责；以及其他支持诉讼请求的证据，如损失证明材料。
2. 向法院提交起诉材料：将准备好的起诉材料提交给有管辖权的人民法院。
3. 法院受理：法院会对起诉材料进行审查，符合起诉条件的，会予以受理，并通知原告缴纳诉讼费用。
4. 开庭审理：法院受理后，会安排开庭时间，并通知双方当事人参加庭审。在庭审中，双方当事人可以就案件事实和法律适用进行辩论。
5. 法院判决与执行：法院根据庭审情况作出判决。如果判决支持原告的诉讼请求，行政机关应当依法履行相应的职责；如果判决驳回原告的诉讼请求，原告可以在法定期限内提起上诉。

五、注意事项

1. 提供充分证据：在诉讼过程中，原告需要提供充分的证据来证明行政机关存在不作为的行为以及自己因此遭受的损失。
2. 遵守诉讼时效：务必在规定的时效期内提起诉讼，以免丧失诉权。

举例说明：假设某市民向当地环保部门举报某企业违法排污，但环保部门在接到举报后未采取任何措施。该市民认为环保部门的不作为侵犯了其合法权益，因此可以向法院提起行政诉讼，要求环保部门履行其法定职责。

总结与建议：行政机关不履行法定职责时，公民、法人或者其他组织在满足一定条件下可以直接向法院提起行政诉讼。在提起诉讼前，建议仔细研究相关法律法规，确保诉讼请求有充分法律依据，并准备好充分的证据材料。如果在此过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。