结论：在对方只有交强险且不赔偿的情况下，您可以向自己的保险公司申请代位追偿，但具体能否成功需视情况而定。以下是对此问题的详细分析：

一、代位追偿的基本概念及适用条件

代位追偿，又称代位赔偿，是指在财产保险中，因第三者对保险标的的损害而造成保险事故的，保险人自向被保险人赔偿保险金之日起，在赔偿金额范围内代位行使被保险人对第三者请求赔偿的权利。在交通事故中，若对方全责且拒绝或无力赔偿，而您已购买了车损险等商业保险，则有权向自己的保险公司申请代位追偿。

二、交强险与代位追偿的关系

1. 交强险的性质：交强险是一种法定的强制保险，旨在保障交通事故中受害人能够得到及时、基本的赔偿。它并不直接涉及保险人与侵权人之间的责任追偿，因此，交强险中不存在代位赔偿制度。

2. 交强险的赔偿范围：交强险主要覆盖人身伤害与财产损害的基础保障，其赔偿限额和范围由相关法规明确规定。在对方只有交强险的情况下，若其交强险的赔偿限额不足以覆盖您的损失，您无法通过交强险获得全额赔偿。

三、商业保险与代位追偿的关系

1. 代位追偿的适用条件：在商业保险中，如车辆损失险，若保险事故由第三方造成且第三方依法应承担赔偿责任，但由于各种原因（如第三方逃逸、无力赔偿等）无法及时获得赔偿时，保险公司在向被保险人赔偿后，可以代位行使被保险人对第三方的求偿权。您需已购买车损险，且事故责任明确为对方全责，对方无其他财产可供执行或拒绝赔偿，才能申请代位追偿。

2. 操作流程：

   • 向己方保险公司报案并提交索赔材料；
   • 签署《权益转让书》，授权保险公司代位求偿；
   • 保险公司先行赔付后，自行向对方追讨损失。

四、需注意的关键点

1. 交强险赔偿范围限制：对方交强险仅能赔付一定限额的财产损失（通常为2000元），剩余部分需通过代位追偿解决。

2. 可能影响次年保费：使用代位追偿通常视为出险一次，可能导致次年商业险保费上浮。具体涨幅需根据保险公司条款确定，一般可能在10%-30%之间。

3. 对方无力偿还的风险：若对方确实无经济能力，即使保险公司胜诉也可能面临执行困难。

五、建议行动步骤

1. 优先协商：尝试与对方直接沟通赔偿事宜，避免法律纠纷。

2. 及时报案：向交警部门获取事故认定书，并向己方保险公司提交完整索赔材料。

3. 评估成本：对比代位追偿后的保费涨幅与维修费用，权衡是否值得走保险程序。

4. 咨询专业意见：在申请代位追偿前，建议您咨询我以获取更具体的法律建议，确保您的权益得到充分保障。

综上所述，虽然交强险中不存在代位赔偿制度，但在您已购买商业保险（如车损险）且满足一定条件的情况下，您可以向自己的保险公司申请代位追偿。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。