结论：在两人斗殴，其中一人使用公园里随手捡的凶器的情况下，公园是否承担责任，需根据具体情况分析，一般情况下公园不直接承担责任，但如果公园存在管理疏忽或未尽到安全保障义务，则可能需承担相应责任。
分析说明：
公园的一般责任原则：
- 公园作为公共场所，其管理者的主要责任是确保场所内的设施安全、环境整洁，以及提供必要的安全警示和救助措施。
- 在一般情况下，公园并不对游客之间的私人纠纷或斗殴行为承担责任，因为这些行为属于游客的个人行为，超出了公园管理者的合理控制范围。
公园可能承担责任的情形：
- 管理疏忽：如果公园管理者明知或应知公园内存在可能引发斗殴的隐患（如照明不足、监控盲区、存在易引发冲突的设施等），却未采取合理措施加以防范或消除，导致斗殴事件发生，那么公园可能因管理疏忽而承担一定责任。
- 未尽到安全保障义务：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，公共场所的管理人或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。如果公园在斗殴事件发生时，未能及时提供必要的救助措施（如报警、提供急救等），或者未能有效阻止斗殴行为的继续发生，那么公园可能因未尽到安全保障义务而承担责任。
凶器来源与公园责任的关系：
- 凶器是公园内随手捡的，这一事实本身并不直接决定公园是否承担责任。关键在于公园是否对凶器的存在或可获取性负有管理责任，以及是否因管理不善导致凶器被用于斗殴。
- 如果公园对园内物品的管理存在疏忽，导致凶器（如尖锐的树枝、石头等）易于被游客获取并用于斗殴，那么公园可能因管理不善而承担一定责任。
行动建议：
- 对于受害者：如果因斗殴事件受到伤害，应首先报警并寻求医疗救助。同时，可以收集相关证据（如现场照片、视频、证人证言等），以便后续追究加害者的法律责任。如果认为公园存在管理疏忽或未尽到安全保障义务，也可以考虑向公园管理者提出索赔要求。
- 对于公园管理者：应加强公园内的安全管理，定期检查并维护园内设施，确保照明充足、监控无盲区。同时，应制定并执行有效的安全管理制度和应急预案，以便在发生斗殴等突发事件时能够及时响应并采取措施。
法律后果：
- 如果公园被认定存在管理疏忽或未尽到安全保障义务，可能需承担相应的民事赔偿责任，包括赔偿受害者的医疗费用、误工费、精神损害抚慰金等。
- 在极端情况下，如果公园的管理疏忽或未尽到安全保障义务导致严重后果（如死亡或重伤），公园管理者还可能面临行政处罚或刑事责任。
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