结论：合同到期员工没有书面申请延期，是否有补偿需根据具体情况判断，主要取决于合同终止的原因以及是否符合法律规定的支付经济补偿的情形。

分析：

1. 合同自然终止无补偿情形：

   • 如果劳动合同到期，且双方均未提出续签或一方提出续签但另一方不同意，导致合同自然终止，且不存在《劳动合同法》第四十六条规定的用人单位应当支付经济补偿的情形，那么用人单位无需支付经济补偿。
   • 例如，员工合同到期，公司提出续签但员工因个人原因拒绝，此时合同终止，公司无需支付补偿。

2. 用人单位不续签需支付补偿情形：

   • 根据《劳动合同法》第四十六条第五项规定，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，依照本法第四十四条第一项规定（即劳动合同期满）终止固定期限劳动合同的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
   • 这意味着，如果合同到期，公司选择不续签，或者公司提出续签但条件低于原合同，员工拒绝续签的，公司需要支付经济补偿。
   • 经济补偿的计算公式为：\(经济补偿 = 工作年限 \times 月工资\)。其中，工作年限满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

3. 员工不续签的特殊情况：

   • 如果是因为用人单位降低劳动合同约定条件（如工资、职位等）导致员工不续签的，用人单位仍需支付经济补偿。
   • 如果员工因个人原因（如找到新工作、家庭原因等）主动不续签，且用人单位没有过错或降低条件，则用人单位无需支付经济补偿。

建议：

• 对于员工而言，如果合同到期且希望继续工作，应及时与用人单位沟通续签事宜，并保留好相关证据（如邮件、短信等），以防发生纠纷。
• 对于用人单位而言，如果合同到期且不打算续签，应提前与员工沟通，并按照法律规定支付经济补偿（如适用），以避免法律风险。
• 在任何情况下，双方都应尽量通过友好协商解决争议，如果协商不成，可以寻求劳动仲裁或法律诉讼等途径解决。

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