交通肇事逃逸案件的拘留处理，主要由公安机关交通管理部门负责管辖，具体拘留的执行部门则根据逃逸行为的性质和后果有所不同。以下是详细分析：
行政拘留的执行部门：
- 当肇事逃逸情节较轻，尚不构成犯罪时，依据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，可能会被处以行政拘留。
- 行政拘留一般在拘留所执行。拘留所是依据中国现行的法律、法规、条例和相关规定而设置的羁押场所，由县级以上地方人民政府根据需要设置，主要负责收拘被公安机关依法给予行政拘留处罚的人。
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》，造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，可由公安机关交通管理部门处二百元以上二千元以下罚款，并可以并处十五日以下拘留。
刑事拘留的执行部门：
- 当肇事逃逸构成犯罪，如造成一人以上重伤，负事故全部或者主要责任且逃逸的，依据《刑法》将以交通肇事罪追究刑事责任。在侦查阶段，犯罪嫌疑人可能会被刑事拘留。
- 刑事拘留是在看守所执行。看守所是羁押依法被逮捕、刑事拘留的犯罪嫌疑人的机关，由县级以上公安机关根据需要设置，主要任务包括武装警戒看守、对犯罪嫌疑人进行教育、管理其生活和卫生，以及保障侦查、起诉和审判工作的顺利进行。
- 若交通肇事逃逸构成犯罪，犯罪嫌疑人不仅会被刑事拘留，还可能面临后续的刑事审判和刑罚执行（通常在监狱）。
处理流程与注意事项：
- 案件侦查：公安机关交通管理部门在接到交通肇事逃逸报案后，会立即启动调查程序，通过现场勘查、询问目击证人、利用监控录像等方式，全力追查逃逸车辆和驾驶人。
- 责任认定：根据事故调查情况，公安机关交通管理部门将依法对逃逸方的事故责任进行认定。一般情况下，逃逸的当事人承担全部责任；但有证据证明对方当事人也有过错的，可适当减轻责任。
- 处罚执行：对于交通肇事逃逸行为人，公安机关交通管理部门将依据相关法律法规进行行政处罚，如罚款、吊销驾驶证等。若逃逸行为构成犯罪，公安机关交通管理部门将配合检察机关和法院，依法追究其刑事责任。
建议：
- 在遭遇交通肇事逃逸时，受害者或目击者应立即报警，以便交警部门能够迅速赶到现场进行调查。
- 及时报警并提供准确信息，有助于公安机关交通管理部门更快地锁定逃逸者，维护受害者的合法权益。
- 配合交警部门的调查工作，提供必要的协助和证据，是确保案件得到公正处理的关键。
如有任何具体的法律问题或疑虑，特别是关于交通肇事逃逸的拘留处理，你可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供准确、适用的法律意见和帮助。