结论：员工为公司债务提供担保后，客户（债权人）在特定条件下确实可以起诉员工要求其承担担保责任。以下是对此问题的详细分析：

一、担保合同的法律效力

1. 担保合同的成立：员工为公司债务提供担保，通常意味着员工与债权人（客户）之间签订了担保合同。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，担保合同是主债权债务合同的从合同，主债权债务合同有效，担保合同一般也有效（除非存在法定无效情形，如欺诈、胁迫等）。

2. 担保责任的范围：担保合同中会明确约定担保的范围，包括主债权及其利息、违约金、损害赔偿金和实现债权的费用等。员工作为担保人，其责任范围通常限于担保合同中约定的范围。

二、客户起诉员工的条件

1. 债务到期未清偿：客户起诉员工的前提是公司的债务已经到期且未得到清偿。如果公司债务尚未到期或已经得到清偿，客户则无权要求员工承担担保责任。

2. 担保合同有效且员工未履行担保义务：担保合同必须合法有效，且员工未按照担保合同的约定履行担保义务（如未提供抵押物、未履行保证责任等）。

3. 客户已向公司追偿未果：在起诉员工之前，客户通常需要先向公司追偿债务。如果公司无力偿还或拒绝偿还，客户才能考虑起诉员工要求其承担担保责任。不过，这一步骤并非绝对必要，具体取决于担保合同的约定和法律规定。在某些情况下，客户可以直接起诉公司和员工，要求他们共同承担债务。

三、员工承担担保责任的方式

1. 一般保证：如果员工提供的是一般保证，那么在公司债务到期且未得到清偿时，客户需要先向公司追偿。只有当公司确实无力偿还时，客户才能要求员工承担保证责任。但需要注意的是，如果员工在担保合同中约定了“连带责任保证”，则客户可以直接要求员工承担保证责任，无需先向公司追偿。

2. 连带责任保证：在连带责任保证的情况下，员工与公司的债务承担连带责任。这意味着客户可以直接要求员工或公司中的任何一方承担全部债务。如果员工被起诉并判决承担担保责任，员工在承担责任后有权向公司追偿。

四、法律建议

1. 审查担保合同：作为员工，在为公司债务提供担保前，应仔细审查担保合同的条款，确保自己清楚了解担保的范围、方式以及可能承担的法律责任。

2. 评估公司偿债能力：在提供担保前，员工应对公司的偿债能力进行评估。如果公司财务状况不佳或存在其他风险，员工应谨慎考虑是否提供担保。

3. 寻求法律帮助：如果员工已经为公司债务提供了担保，并面临被起诉的风险，建议及时寻求专业律师的帮助，以便更好地维护自己的合法权益。

如果您作为员工或客户，在涉及此类担保纠纷时遇到任何法律问题，都可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。