当对行政抗诉案件中检察院不支持监督的决定不服时，当事人可以采取以下措施：

1. 向上级检察机关申请复查

   • 法律依据：根据《人民检察院行政诉讼监督规则》第一百二十五条，当事人对不支持监督申请决定不服的，有权向上一级人民检察院申请复查一次。
   • 操作要点：需在收到决定书后的合理期限内（通常为收到决定书之日起六十日内）提交书面复查申请。申请中应重点围绕新证据的发现、法律适用错误或程序违法等事由展开论证，提供充分的证据材料以支持其复查请求。

2. 通过其他法定渠道主张权利

   • 再审申请：若当事人认为原生效裁判存在重大错误，且该错误符合再审条件，可在法定期限内向法院提出再审申请。再审申请需提交足以推翻原判的新证据或证明原审存在严重程序违法的材料，以说服法院启动再审程序。
   • 信访申诉：针对案件办理过程中的违纪违法行为，当事人可以向纪检监察部门反映情况。但需注意，信访申诉应聚焦于案件办理过程中的违法违纪行为，而非对原生效裁判的直接挑战，且应避免无理缠访。

3. 理性对待并规范行使权利

   • 避免重复申请：无正当理由反复申请监督不仅浪费司法资源，还可能构成滥用诉权行为，影响个人信用及后续法律程序的进行。
   • 配合后续程序：在上级检察机关复查期间，当事人应积极配合调查核实工作，如实提供证据材料，以便检察机关全面、客观地了解案件情况。
   • 尊重最终结论：经复查维持原决定的，当事人应当接受司法程序的终局性，避免采取过激维权方式，如聚众闹事、冲击司法机关等，以免触犯法律。

在采取上述措施时，当事人还需注意以下几点：

• 保持冷静与理性：面对检察院不支持监督的决定，当事人应保持冷静，避免情绪化行为，通过合法途径维护自身权益。
• 充分准备证据材料：无论是申请复查还是提出再审申请，当事人都应充分准备证据材料，以支持其主张。证据材料应真实、合法、有效，且与案件事实紧密相关。
• 了解法律程序与期限：当事人应了解相关法律程序与期限，确保在法定期限内提出申请或申诉，以免错过维权时机。

若当事人在采取上述措施后仍无法解决问题，或者对法律程序、证据材料等方面存在疑问，可以直接向我咨询。作为专业律师，我将根据具体情况提供有针对性的法律建议，帮助当事人维护自身合法权益。