在证据充分但事故责任认定书尚未下达的情况下，交通管理部门是否会通知肇事逃逸司机，这主要取决于案件的具体情况和交通管理部门的办案流程，但通常情况下，交通管理部门会通知肇事逃逸司机到案接受调查。以下从几个方面进行详细分析：
交通管理部门的调查程序：
- 在交通事故发生后，交通管理部门会立即展开调查，包括现场勘查、询问当事人、调取监控录像等，以收集证据，确定事故责任。
- 如果肇事司机逃逸，交通管理部门会加大调查力度，通过多种手段追踪肇事司机的下落，包括但不限于发布协查通报、利用科技手段追踪车辆轨迹等。
- 在证据充分的情况下，交通管理部门通常会认为已经掌握了足够的线索来认定事故责任，此时，为了进一步确认事故细节、听取肇事司机的陈述和申辩，交通管理部门很可能会通知肇事司机到案接受调查。
肇事逃逸的法律后果：
- 肇事逃逸是一种严重的违法行为，不仅可能导致事故责任的加重，还可能面临刑事处罚。根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，肇事逃逸的，由公安机关交通管理部门吊销机动车驾驶证，且终生不得重新取得机动车驾驶证；如果构成犯罪的，还将依法追究刑事责任。
- 因此，从法律后果的角度来看，肇事司机有义务配合交通管理部门的调查，接受相应的法律制裁。交通管理部门在掌握充分证据后，通知肇事司机到案也是为了履行其执法职责，确保法律的正确实施。
通知肇事司机的可能性和方式：
- 在证据充分的情况下，交通管理部门很可能会通过电话、短信、邮件或者书面通知等方式，要求肇事司机到案接受调查。
- 如果肇事司机拒不到案或者无法联系，交通管理部门可能会采取进一步的措施，如上门传唤、发布通缉令等，以确保肇事司机能够接受法律的制裁。
建议：
- 对于肇事逃逸的司机来说，最好的做法是主动到交通管理部门投案自首，配合调查，如实陈述事故经过。这样不仅可以减轻法律后果，还可能获得从轻或者减轻处罚的机会。
- 对于受害者或者目击者来说，如果发现肇事逃逸的情况，应及时向交通管理部门报案，并提供尽可能多的线索和证据，以协助交通管理部门尽快破案。
如果您在交通事故或保险理赔方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。