在一般性肇事逃逸且证据充足、身份确定的情况下，警方通常会立刻通知肇事司机。以下是对此问题的详细分析：
法律依据与程序
《道路交通安全法》的相关规定：
- 根据《道路交通安全法》第七十一条，车辆发生交通事故后逃逸的，事故现场目击人员和其他知情人员应当向公安机关交通管理部门或者交通警察举报。举报属实的，公安机关交通管理部门应当给予奖励。
- 同时，该法也规定了公安机关交通管理部门在接到交通事故报警后，应当立即派交通警察赶赴现场，先组织抢救受伤人员，并采取措施，尽快恢复交通。对于肇事逃逸的案件，公安机关交通管理部门会全力侦破，包括查找肇事车辆和肇事司机。
警方的调查程序：
- 在肇事逃逸案件中，警方会首先通过现场勘查、调取监控录像、询问目击者等方式收集证据，以确定肇事车辆和肇事司机的身份。
- 一旦证据充足且身份确定，警方会立即通知肇事司机到案接受调查。这通常是通过电话、书面传唤或直接上门通知的方式进行的。
实际情况与考量
证据的充分性：
- 警方在通知肇事司机之前，必须确保收集到的证据足够充分，能够证明肇事司机的逃逸行为。这包括现场痕迹、监控录像、目击者证言等。
- 如果证据不足或存在疑问，警方可能会继续调查，直到证据确凿为止。
肇事司机的身份确定：
- 警方需要通过各种手段确定肇事司机的身份，如通过车牌号查询车主信息、通过监控录像识别司机面貌等。
- 一旦身份确定，警方会立即采取行动通知肇事司机，并要求其到案接受调查。
通知的及时性：
- 在肇事逃逸案件中，时间的紧迫性非常重要。警方会尽快通知肇事司机，以防止其继续逃逸或销毁证据。
- 同时，及时通知也有助于保护受害者的权益，确保案件能够得到及时处理。
可能的法律后果
- 如果肇事司机在接到通知后拒不到案或继续逃逸，警方可能会采取进一步的强制措施，如上网追逃、通缉等。
- 肇事逃逸行为本身也会受到法律的严厉制裁，包括罚款、吊销驾驶证、拘留甚至刑事处罚等。
总结与建议：
在一般性肇事逃逸且证据充足、身份确定的情况下，警方通常会立刻通知肇事司机到案接受调查。如果您或他人遇到此类情况，建议积极配合警方的调查工作，并保留好相关证据。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。