结论：房子已经抵押给一家银行后，另一家银行在特定条件下仍然有可能申请执行该房产，但具体能否执行取决于多种因素，包括抵押权的设立顺序、债权性质以及执行程序等。
详细分析：
抵押权的设立顺序：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，抵押权具有优先受偿的效力，且抵押权的设立顺序影响其优先受偿的顺序。如果房子先抵押给第一家银行，并办理了抵押登记，那么第一家银行就对该房产享有优先受偿权。
- 如果后续另一家银行也接受了该房产作为抵押物，并办理了抵押登记，那么这家银行将成为第二顺位的抵押权人。在第一顺位抵押权人（即第一家银行）的债权得到完全清偿之前，第二顺位抵押权人（即第二家银行）通常无法直接对房产进行执行。
债权性质与执行程序：
- 如果第一家银行的债权已经得到清偿，或者第一家银行放弃了对房产的抵押权，那么第二家银行作为剩余抵押权人，就有权对房产进行执行。
- 另外，如果第二家银行获得了对债务人的有效判决或裁定，并且该判决或裁定涉及对房产的执行，那么在符合法律程序的前提下，第二家银行也可以申请执行该房产。这通常涉及到执行程序中的拍卖、变卖等环节，以确保债权得到实现。
特殊情况下的执行：
- 在某些特殊情况下，如债务人恶意转移财产、逃避债务等，第二家银行可能通过法律途径撤销债务人的相关行为，并申请执行房产。这通常需要提供充分的证据证明债务人的恶意行为，并经过法院的审查认定。
法律建议：
- 对于已经将房产抵押给一家银行的债务人来说，如果面临另一家银行的执行申请，应首先了解自己的抵押权状况以及两家银行的债权性质。
- 如果认为另一家银行的执行申请存在不当之处，可以及时向法院提出异议，并寻求法律援助以维护自己的合法权益。
- 对于债权人（即银行）来说，在接受房产作为抵押物时，应充分了解房产的抵押状况以及债务人的信用状况，以降低风险。
可能后果：
- 如果第二家银行成功申请执行房产，那么房产可能会被拍卖或变卖以清偿债务。这将对债务人的财产状况产生重大影响，并可能影响其未来的信用记录和融资能力。
- 如果债务人认为执行申请存在不当之处并成功提出异议，那么执行程序可能会被中止或撤销，从而保护债务人的合法权益。
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