结论：在您开自己的车为单位跑外办事出事故且对方全责的情况下，您和单位均有权索要相应的赔偿。具体来说，您个人可以索要因事故造成的人身损害赔偿和车辆损失赔偿；单位则可能因您在执行工作任务过程中发生事故而遭受间接损失，这部分损失在特定条件下也可向责任方主张。
一、您个人可索要的赔偿
人身损害赔偿：
- 医疗费：包括因事故导致的医疗费用，如急救费、住院费、药费等。
- 误工费：因事故导致您无法正常工作而产生的收入损失。
- 护理费：若事故导致您需要他人护理，可主张护理费。
- 交通费：因就医或转院治疗实际发生的交通费用。
- 营养费：根据医疗机构的意见，您可主张适当的营养费。
- 残疾赔偿金：若事故导致您残疾，可根据伤残等级主张残疾赔偿金。
- 精神损害抚慰金：在事故给您造成严重精神损害的情况下，可主张精神损害抚慰金。
车辆损失赔偿：
- 车辆维修费：因事故导致的车辆维修费用。
- 车辆贬值损失：在车辆因事故导致价值降低的情况下，可主张车辆贬值损失（但需注意，此部分赔偿在实践中可能较难获得支持，需根据具体情况判断）。
- 替代性交通工具费用：在车辆维修期间，您因无法使用车辆而产生的替代性交通工具费用（如租车费用）。
二、单位可能主张的赔偿
间接损失赔偿：
- 若您在执行工作任务过程中发生事故，且事故导致单位遭受间接损失（如因您无法继续工作而导致的业务损失、因车辆无法使用而产生的额外费用等），单位在特定条件下可向责任方主张这部分损失。但需注意，单位主张间接损失赔偿需满足一定条件，如证明损失与事故之间的因果关系、损失的具体数额等。
特殊情况下的直接损失赔偿：
- 若单位为车辆购买了相关保险（如车损险、第三者责任险等），且保险合同中约定了单位在特定情况下的直接损失赔偿权利，则单位可根据保险合同向保险公司主张赔偿。但此部分赔偿与向责任方主张赔偿是两种不同的法律关系，单位可根据实际情况选择适用。
三、实际操作建议
- 及时报警并保留证据：在事故发生后，应立即报警并保留好相关证据（如事故现场照片、交警出具的事故责任认定书、医疗费用单据、车辆维修费用单据等）。
- 与责任方协商赔偿：在证据充分的情况下，可与责任方协商赔偿事宜。若协商不成，可依法向人民法院提起诉讼。
- 咨询专业律师：在处理此类事故赔偿问题时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。作为专业律师，我擅长处理合同纠纷和交通事故领域的问题，若您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。