结论概述：在“女孩打翻水杯”事件中，涉事方（涉事女孩及其母亲）在警方介入并批评教育后，已向被打女孩及其母亲当面诚恳道歉，履行了其道歉义务。从法律层面分析，涉事方确实存在道歉的义务，这主要基于被打女孩的人格权受到侵害，且涉事方存在过错。以下是对此事件的详细法律分析：
一、法律定性及依据
人格权侵害：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，自然人享有生命权、身体权、健康权、姓名权、肖像权、名誉权、荣誉权、隐私权等人格权。在此事件中，被打女孩的人格权（具体可能涉及身体权、健康权及心理层面的安宁权）受到了侵害。涉事女孩直接打翻水杯，导致被打女孩受到惊吓，且可能留下心理阴影，这构成了对被打女孩人格权的侵害。
过错责任：
- 涉事女孩及其母亲在事件中存在过错。涉事女孩无故打翻水杯，且事后毫无愧疚之意；涉事母亲则未提前约束孩子行为，事发时也未及时阻拦，且事后态度冷漠，未给予被打女孩及其母亲应有的道歉和安慰。这些行为均表明涉事方存在过错，应当承担相应的法律责任。
二、涉事方的道歉义务
道德义务与法律义务的交织：
- 从道德层面讲，涉事方应当向被打女孩及其母亲道歉，以表达歉意和悔意，这是基本的道德准则。从法律层面讲，虽然我国法律并未明确规定在类似事件中涉事方必须道歉，但根据《民法典》中关于侵权责任的规定，侵权人应当承担侵权责任，这包括停止侵害、排除妨碍、消除危险、赔偿损失等。在人格权受到侵害的情况下，道歉可以视为一种消除危险、恢复名誉、赔礼道歉的侵权责任承担方式。
道歉义务的履行：
- 在此事件中，涉事方在警方介入并批评教育后，已向被打女孩及其母亲当面诚恳道歉，这可以视为其履行了道歉义务。这种道歉不仅有助于缓解被打女孩及其母亲的情绪，也有助于涉事女孩认识到自己的错误，促进其健康成长。
三、对公众的启示
增强法律意识：
- 公众应当增强法律意识，了解自己的权利和义务，以及在受到侵害时如何维护自己的合法权益。在此事件中，被打女孩的母亲选择报警处理，并通过合理途径维权，这是值得肯定的。
注重家庭教育：
- 家庭教育对孩子的成长至关重要。家长应当注重培养孩子的道德品质和法律意识，教育孩子尊重他人、遵守法律。在此事件中，涉事母亲的教育方式显然存在问题，应当反思并改进。
倡导和谐社会：
- 社会应当倡导和谐、友善、宽容的氛围，减少类似事件的发生。公众应当学会宽容和理解他人，以和平、理性的方式解决纠纷和冲突。
总结：在此“女孩打翻水杯”事件中，涉事方已履行了其道歉义务。从法律层面分析，涉事方确实存在道歉的义务，这主要基于被打女孩的人格权受到侵害且涉事方存在过错。此事件也提醒公众要增强法律意识、注重家庭教育并倡导和谐社会。如果您或您身边的人遇到类似问题，可以直接向我咨询，我会提供专业的法律建议。