针对离职员工持续发送催债短信的情况，可按以下步骤处理：

1. 核实债务真实性
   首先需确认短信中提及的债务是否真实存在。若债务属实（如未结清的工资、报销款、借款等），建议优先与对方协商还款方案，明确还款时间、金额及方式，避免矛盾升级。若对债务金额或性质存疑，可要求对方提供书面证据（如借条、转账记录、劳动合同等），通过证据审查判断债务合法性。

2. 明确拒绝非法催收行为
   若债务不存在或已清偿，或对方存在以下行为，可明确告知其停止侵权：

   • 频繁发送短信、拨打电话骚扰（尤其在工作时间外或针对无关第三方）；
     
   • 使用威胁、辱骂、泄露隐私等手段；
     
   • 冒充公检法或虚构债务事实。
     法律依据：根据《民法典》第1032-1033条，自然人享有隐私权，任何组织或个人不得以电话、短信等方式侵扰他人私人生活安宁；若对方行为涉嫌违反《治安管理处罚法》第42条（威胁他人人身安全、公然侮辱他人等），可报警处理。

3. 保留证据并采取法律措施

   • 证据固定：保存所有催债短信、通话记录、录音（如有）、对方身份信息（如手机号实名认证信息）等；
     
   • 投诉举报：向运营商投诉骚扰号码（如中国移动10086、中国联通10010），要求屏蔽或封号；
     
   • 民事诉讼：若对方行为造成名誉损害或精神损失，可起诉其侵犯隐私权、名誉权，要求赔礼道歉、赔偿损失；
     
   • 刑事控告：若对方使用暴力、软暴力（如跟踪、骚扰亲友）或虚构债务诈骗，可向公安机关报案，追究其刑事责任。

4. 企业端预防措施（若涉及前雇主责任）
   若您是企业负责人，需检查离职流程是否规范：

   • 确保工资、报销款等在离职时结清，避免遗留纠纷；
     
   • 在离职协议中明确债务清偿条款，要求员工签字确认；
     
   • 对恶意催收员工，可发送律师函警告，或通过企业法务部门介入处理。

总结：先核实债务真实性，非法催收需坚决抵制并留存证据，根据情节轻重选择投诉、诉讼或报警。若需进一步分析证据或制定应对方案，可直接向我咨询具体细节。