在狗追着人咬并导致狗被打死的情况下，狗的主人是否会被判刑以及判何种罪，需根据具体情况进行综合判断。以下是对此问题的详细分析：
若狗的主人故意驱使狗去咬人：
- 在这种情况下，狗的主人主观上具有剥夺他人生命或伤害他人身体的故意，若导致人死亡，则可能构成故意杀人罪或故意伤害罪（致人死亡）。
- 处罚措施：根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，故意杀人的，可处死刑、无期徒刑或十年以上有期徒刑；情节较轻的，处三年以上十年以下有期徒刑。故意伤害他人身体，致人死亡的，同样面临十年以上有期徒刑、无期徒刑或死刑的惩罚。但在此场景中，由于是狗实施了攻击行为，实际判罚时会综合考虑主人的故意程度、狗的攻击性、受害人的情况等因素，不过从罪名定性上，主人可能面临上述严重刑罚的考量。
若狗的主人因管理不善导致狗意外咬人：
- 如果狗的主人明知狗具有较强攻击性却疏于看管，或者未对狗进行必要的约束，导致狗意外咬死他人，那么狗的主人可能构成过失致人死亡罪。
- 处罚措施：依据《中华人民共和国刑法》第二百三十三条，过失致人死亡的，处三年以上七年以下有期徒刑；情节较轻的，处三年以下有期徒刑。在此场景下，主人需承担因其过失导致的法律责任。
若狗的主人行为危害公共安全：
- 在特殊情况下，如果狗的主人明知烈犬极具攻击性和危险性，但未尽合理的管理和控制义务，导致饲养动物对不特定多数人的生命安全造成现实危害，且对危害公共安全持放任态度，那么可能涉嫌以危险方法危害公共安全罪。不过，这一罪名的认定需要满足对公共安全造成现实危害且主人持放任态度的条件，单纯狗追人咬并不直接等同于此。
- 处罚措施：尚未造成严重后果的，处三年以上十年以下有期徒刑。若造成严重后果，刑罚将更重。但需注意，此场景下的认定较为严格，需综合多方面因素判断。
关于打死狗的行为：
- 打死狗的行为本身，如果是在紧急避险的情况下（如为了保护自身生命安全而不得不打死狗），通常不构成犯罪。但如果是无故打死他人的狗，则可能涉及侵犯他人财产权的问题，需要承担相应的民事赔偿责任。不过，这一行为与狗主人是否被判刑无直接关联，而是独立的行为评价。
民事责任方面：
- 无论狗的主人是否承担刑事责任，依据《中华人民共和国民法典》的相关规定，饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人都应当承担侵权责任。这意味着，狗的主人需要对受害者或其家属进行民事赔偿，包括丧葬费、死亡赔偿金等费用。
特殊情况下的处理：
- 如果狗咬人事件是由于一些无法预见、不可避免的原因导致的，且饲养人或管理人已经尽到了合理的管理义务，那么该事件可能被认定为意外事件。在这种情况下，饲养人或管理人通常不需要承担刑事责任，但仍可能需要承担一定的民事赔偿责任。
建议：
- 对于狗的主人而言，应严格遵守养犬管理规定，对狗进行必要的约束和管理，防止狗对他人造成损害。
- 对于受害者或其家属而言，如果遭受了狗的攻击并造成了损害，应及时报警并寻求法律援助，以维护自己的合法权益。
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