在审理过程中，如果发现被告人可能不构成犯罪，我们会依据相关法律法规进行严谨、细致的处理。以下是对这一问题的详细解答：

一、处理方式及法律依据

1. 侦查阶段：

   • 若公安机关在立案侦查过程中发现案件不构成犯罪或符合不追究刑事责任的情形，会依据《刑事诉讼法》的相关规定，撤销案件。同时，会立即释放被采取强制措施的犯罪嫌疑人，并通知原批准逮捕的人民检察院。

2. 审查起诉阶段：

   • 法定不起诉：人民检察院在审查起诉时，若发现犯罪嫌疑人无犯罪事实，或存在《刑事诉讼法》第十六条规定的特定情形（如情节显著轻微、已过追诉时效等），会作出不起诉决定。
   • 酌定不起诉：对于犯罪情节轻微，且不需判处刑罚或可免除刑罚的案件，人民检察院可以作出酌定不起诉决定。
   • 证据不足不起诉：若经过二次补充侦查后，人民检察院仍认为证据不足，也会作出不起诉决定。

3. 审判阶段：

   • 终止审理：若法院在审理过程中发现被告人无犯罪事实，或符合不追究刑事责任的情形，会裁定终止审理。
   • 宣告无罪：若经审理认为被告人不构成犯罪，法院会作出无罪判决，并立即释放在押的被告人。

二、不构成犯罪的具体情形

不构成犯罪通常指的是某行为虽然违法，但并未达到刑法所规定的犯罪构成要件。这些情形包括但不限于：情节显著轻微、危害不大；已过追诉时效；经特赦令免除刑罚；属于告诉才处理的犯罪且无告诉或已撤回告诉；犯罪嫌疑人、被告人死亡；其他法律规定免予追究刑事责任；未达到刑事责任年龄；无犯罪故意或过失；以及符合正当防卫、紧急避险等特定条件。

三、行政处罚的可能性

对于那些不构成犯罪，但具有社会危害性的行为，公安机关会依据《治安管理处罚法》进行处理。这可能包括警告、罚款、行政拘留以及吊销许可证等措施，具体会根据违法行为的性质、情节以及社会危害程度来决定。

四、权益保障与救济途径

在处理不构成犯罪的案件时，我们会严格遵循法定程序，确保当事人的合法权益得到充分保障。对于已采取强制措施的犯罪嫌疑人，我们会及时解除，以避免侵犯其人身自由。如果当事人对处理决定不服，他们有权依法申请行政复议或提起行政诉讼来维护自己的权益。此外，如果因错误的刑事追究导致了损害，当事人还有权依法申请国家赔偿以弥补损失。

综上所述，审理过程中发现被告人可能不构成犯罪时，我们会依据相关法律法规进行严谨、细致的处理，确保案件的公正、公平和合法性。