结论：监事申请辞职后，若公司不办理相关手续，监事是否承担责任需分情况讨论，一般情况下，监事在正式辞职且完成必要程序后，不再承担监事职责相关的责任；但若因未履行法定程序或存在其他违法行为，则可能需承担相应责任。
详细分析：
监事辞职的法定程序：
- 根据《公司法》及相关规定，监事辞职通常需向公司提交书面辞职报告。公司应在收到辞职报告后的一定时间内（如三十日内）召开股东会或股东大会，选举新的监事，并办理相关变更登记手续。
- 若监事已按照法定程序提交了辞职报告，且公司未在规定时间内办理变更登记，这并不影响监事辞职的效力。监事在辞职报告生效后，即不再享有监事的权利，也不再承担监事的义务和责任。
监事辞职后不承担责任的情况：
- 在监事已正式辞职且完成必要程序（如提交辞职报告、公司确认并办理变更登记）后，监事不再对公司的事务承担监事职责相关的责任。此时，若公司因未办理变更登记而遭受损失，该损失应由公司自行承担，或由相关责任人员（如公司管理层）承担，而非由已辞职的监事承担。
监事可能承担责任的情况：
- 未履行法定程序：若监事未按照法定程序提交辞职报告，或提交辞职报告后未等待公司确认并办理变更登记即擅自离职，导致公司因监事缺位而遭受损失的，监事可能需承担一定的赔偿责任。
- 存在其他违法行为：若监事在任职期间存在违法行为（如滥用职权、侵占公司财产等），即使已提交辞职报告，也可能需对其违法行为承担相应的法律责任。
法律建议：
- 对于监事而言，在辞职时应确保按照法定程序提交辞职报告，并保留好相关证据（如辞职报告、公司确认函等），以证明自己已正式辞职且不再承担监事职责。
- 若公司未在规定时间内办理变更登记，监事可与公司沟通协商，要求公司尽快办理；若公司拒不办理，监事可考虑通过法律途径维护自己的合法权益。
- 若监事在任职期间存在违法行为或未履行法定程序导致公司遭受损失的，应主动承担责任并积极配合公司解决问题，以避免更严重的法律后果。
可能后果：
- 若监事已正式辞职且完成必要程序，但公司未办理变更登记导致监事被误认为仍在职并因此遭受损失的（如被要求承担监事职责相关的责任），监事可通过法律途径要求公司赔偿其因此遭受的损失。
- 若监事未履行法定程序或存在其他违法行为导致公司遭受损失的，监事可能需承担赔偿责任，并可能面临行政处罚或刑事责任（如构成犯罪的）。
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