结论：给私人干活手指截肢，一般情况下不能直接走工伤认定流程，但可能通过其他途径获得相应赔偿。具体能否获得赔偿及赔偿方式，需根据实际情况判断。
分析说明：
工伤认定的前提：
- 工伤认定通常适用于与用人单位建立劳动关系的劳动者。根据《工伤保险条例》的规定，职工因工作遭受事故伤害或者患职业病进行治疗，享受工伤医疗待遇。这里的“职工”指的是与用人单位存在劳动关系的劳动者。
- 在您描述的情况中，给私人干活，很可能并未与私人雇主建立劳动关系，而是形成了劳务关系或雇佣关系。因此，直接走工伤认定流程可能不适用。
劳务关系或雇佣关系下的赔偿：
- 如果给私人干活形成的是劳务关系或雇佣关系，那么因工作原因受到伤害，虽然不能享受工伤保险待遇，但可以根据《民法典》中关于侵权责任的规定，向雇主主张赔偿。
- 具体来说，如果雇主在提供劳务过程中存在过错（如未提供安全的工作环境、未提供必要的劳动保护用品等），导致您手指截肢，那么雇主应当承担相应的赔偿责任。
赔偿内容与标准：
- 赔偿内容可能包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费，以及因残疾而增加的必然费用（如残疾辅助器具费）和因丧失劳动能力导致的收入损失（如残疾赔偿金）等。
- 赔偿标准则根据实际情况和当地的相关规定来确定，如医疗费用根据实际发生的费用计算，误工费根据受害人的误工时间和收入状况确定等。
行动建议：
- 收集证据：首先，您需要收集相关证据，如工作证明、医疗记录、证人证言等，以证明您是在为私人雇主工作时受伤的。
- 协商赔偿：然后，您可以尝试与雇主进行协商，看是否能够就赔偿事宜达成一致。
- 法律途径：如果协商无果，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益，如向法院提起诉讼或申请仲裁等。
后续思考：
- 在未来的工作中，为了保障自己的权益，建议您尽量与雇主签订书面合同，明确双方的权利和义务。
- 同时，您也可以考虑购买一些商业保险，如意外伤害保险等，以在发生意外时获得一定的经济保障。
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