结论：医院作为劳务派遣的用工单位，在员工非工作时间身故的情况下，其责任承担需根据身故原因及是否存在过错来综合判断。若身故与工作无关且医院无过错，则医院通常不承担直接责任；若医院存在过错或身故与工作环境、条件等有关，则医院可能需承担相应责任。以下从不同角度进行详细分析：
一、劳务派遣关系下的责任划分
在劳务派遣关系中，劳务派遣单位（即与员工签订劳动合同的单位）是员工的用人单位，而实际使用员工的单位（如医院）则是用工单位。根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，劳务派遣单位应当履行对劳动者的义务，包括签订劳动合同、支付劳动报酬、缴纳社会保险等。而用工单位则主要负责提供劳动条件、进行劳动保护、支付加班费等。
若身故与工作无关：
- 在这种情况下，由于身故发生在非工作时间，且与工作无直接关联，医院作为用工单位，通常不承担直接的法律责任。但需注意，如果医院在工作环境、安全设施等方面存在过错，导致员工在非工作时间因这些因素身故，医院可能需要承担一定的过错责任。
若身故与工作有关：
- 如果身故虽然发生在非工作时间，但与工作环境、工作条件或工作任务等有直接关联（如因工作导致的长期疲劳、职业病等引发的身故），医院可能需要承担相应的法律责任。这需要根据具体情况来判断，包括身故原因、医院是否存在过错等。
二、医院可能承担的责任类型
民事赔偿责任：
- 如果医院在员工身故事件中存在过错（如未提供安全的工作环境、未进行必要的劳动保护等），医院可能需要承担民事赔偿责任，包括赔偿员工家属的丧葬费、死亡赔偿金等。
行政责任：
- 如果医院的行为违反了相关劳动法律法规（如未依法为员工缴纳社会保险、未提供必要的劳动保护等），劳动行政部门可能对医院进行行政处罚，如罚款、责令改正等。
三、建议与措施
调查身故原因：
- 首先，应尽快调查员工身故的具体原因，以确定是否与工作有关。这可以通过尸检、调查工作记录、询问相关人员等方式进行。
评估医院责任：
- 根据身故原因及医院在事件中的行为，评估医院是否应承担责任及承担何种责任。这可能需要专业的法律意见和评估。
协商与诉讼：
- 如果医院应承担责任，建议与员工家属进行协商，寻求和解或达成赔偿协议。如果协商不成，员工家属可能会提起诉讼，此时医院应积极应诉，并准备相关证据和材料。
加强劳动保护与安全管理：
- 无论此次事件是否与医院有关，医院都应加强劳动保护和安全管理，确保员工的工作环境安全、健康，减少类似事件的发生。
最后，每个具体案件都有其独特的事实和法律适用问题，因此上述分析仅供参考。如果医院或员工家属对此类事件有进一步的法律疑问或需要具体的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律意见和解决方案。