核心结论：公司发出终止劳动合同通知书后员工又住院做手术，公司是否需承担责任及如何处理，需分情况讨论，具体如下：
若终止劳动合同通知书已生效，且员工住院与终止行为无直接关联
- 法律分析：劳动合同终止意味着双方权利义务关系结束。若终止行为合法有效（如符合《劳动合同法》中规定的终止情形，如劳动合同期满、员工开始依法享受基本养老保险待遇等），且员工住院并非因公司原因导致，也非在终止前已存在的工伤或职业病等特殊情况，那么公司无需为员工住院期间的医疗费用、工资等承担责任。
- 处理建议：公司可按照终止劳动合同的流程，与员工办理离职手续，包括结算工资、经济补偿（如有）、转移社保关系等。对于员工住院的情况，公司可出于人文关怀给予适当慰问，但无法律义务提供经济支持。
若终止劳动合同通知书尚未生效，或存在违法终止情形
- 法律分析：若终止劳动合同通知书虽已发出，但尚未到达法定生效时间（如提前通知期未满），或公司终止劳动合同的行为存在违法情形（如未依法支付经济补偿、未提前通知等），则员工住院期间，公司可能仍需承担一定责任。特别是若员工住院与工作相关（如工伤），则公司需按照《工伤保险条例》的规定承担工伤保险责任。
- 处理建议：公司应立即审查终止劳动合同的合法性，若存在违法情形，应及时与员工协商撤销终止决定，恢复劳动关系，并依法支付工资、缴纳社保等。若员工住院与工作相关，公司还需及时申报工伤，并按照工伤保险的规定承担相应责任。
若员工住院导致终止劳动合同的条件发生变化
- 法律分析：在某些特殊情况下，员工住院可能导致其无法继续履行劳动合同（如患重病或非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的），这可能影响劳动合同的终止。但这种情况需具体分析，且通常需经过劳动能力鉴定等程序。
- 处理建议：公司应密切关注员工住院后的身体状况和劳动能力变化，若确实存在无法继续履行劳动合同的情形，公司应依法与员工协商变更劳动合同或终止劳动合同，并按照法律规定支付经济补偿。
总结与建议：公司发出终止劳动合同通知书后员工又住院做手术，公司应首先审查终止劳动合同的合法性，然后根据员工住院的具体情况（如是否与工作相关、是否影响劳动合同履行等）和法律规定，决定是否需承担责任及如何处理。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。