结论：当初离婚时放弃抚养费权，后续在特定条件下仍然可以起诉要求支付抚养费。

分析说明：

1. 放弃抚养费权的法律性质：

   • 放弃抚养费权通常是在离婚协议或判决中明确的一项内容，它代表了当时双方对抚养费问题的共识。然而，这种放弃并不意味着在所有情况下都绝对不可更改。

2. 后续起诉的法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民法典》及相关司法解释，虽然离婚时双方可以就抚养费问题达成协议，但如果后续情况发生变化，如直接抚养子女的一方经济状况显著恶化，或者子女的实际需要增加等，导致原定的抚养费数额无法满足子女的正常生活和学习需要，那么直接抚养子女的一方有权向法院提起诉讼，要求对方增加抚养费。
   • 此外，如果当初放弃抚养费权是基于某种误解或欺诈、胁迫等不正当手段，那么该放弃行为可能被视为无效或可撤销，从而允许后续起诉要求支付抚养费。

3. 实际操作中的考虑因素：

   • 证据收集：要成功起诉要求支付抚养费，需要收集充分的证据来证明当前的情况已经发生了显著变化，或者当初的放弃行为存在无效或可撤销的情形。
   • 法院审查：法院在审理此类案件时，会综合考虑双方的实际情况、子女的实际需要以及当地的生活水平等因素，来决定是否支持增加抚养费的请求。

法律建议：

• 如果您当初离婚时放弃了抚养费权，但现在由于经济状况恶化或子女的实际需要增加等原因，需要对方支付抚养费，建议您先收集相关证据，如收入证明、子女的教育、医疗等费用支出证明等。
• 然后，您可以向法院提起诉讼，要求对方增加抚养费。在诉讼过程中，要如实陈述事实，提供充分的证据来支持您的请求。
• 同时，也要做好心理准备，因为法院的判决结果可能会受到多种因素的影响，包括对方的经济状况、子女的实际需要以及当地的生活水平等。

可能后果：

• 如果法院认为您的请求合理且证据充分，那么可能会判决对方支付一定的抚养费。
• 如果法院认为您的请求缺乏依据或证据不足，那么可能会驳回您的诉讼请求。

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