针对您提出的“未成年持刀故意伤人，当地公安局应该如何对其家中监护人”这一问题，以下是我为您提供的详细解答：

首先，我们需要明确的是，对于未成年人实施的严重暴力犯罪，如持刀故意伤人，法律是有明确规定的追责年龄和相应处置措施的。根据《中华人民共和国刑法修正案(十一)》以及相关法律法规，不同年龄段的未成年人犯罪，其承担刑事责任的情况是有所不同的。但无论年龄大小，对于实施严重暴力犯罪的未成年人，其监护人都是需要承担相应责任的，特别是当监护人存在严重失职行为时。

一、未成年人犯罪的追责年龄规定

1. 已满十六周岁的人犯罪，应当负刑事责任。
2. 已满十四周岁不满十六周岁的人，犯故意杀人、故意伤害致人重伤或者死亡等严重犯罪的，应当负刑事责任。
3. 已满十二周岁不满十四周岁的人，犯故意杀人、故意伤害罪，致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾，情节恶劣，经最高人民检察院核准追诉的，也应当负刑事责任。

二、对未成年犯罪人的处置措施

对于没有达到追究刑事责任年龄的未成年犯罪人，如不满12周岁或不满14周岁，或者是12至14周岁之间但未核准追诉的严重暴力犯罪，法律也规定了相应的处置措施。根据《中华人民共和国预防未成年人犯罪法》第45条，对于这部分未成年人，可以采取专门矫治教育的措施，即将其送到专门场所进行闭环管理，由教育、公安和司法行政部门对其开展心理行为方面的矫治工作。

三、对监护人的责任追究

对于实施严重暴力犯罪的未成年人，其监护人也要承担相应的责任。特别是当监护人存在严重失职行为，如未尽到监护职责、放任未成年人实施违法行为等，相关部门可以根据法律予以惩戒。这可能包括但不限于：

1. 训诫与责令改正：公安机关或相关部门可以对监护人进行训诫，并责令其改正失职行为，加强对未成年人的监护和教育。
2. 罚款或拘留：在严重情况下，如果监护人的失职行为构成了违法或犯罪，如虐待、遗弃未成年人等，那么监护人可能会面临罚款、拘留等法律制裁。
3. 撤销监护人资格：在极端情况下，如果监护人的行为严重损害了未成年人的身心健康和合法权益，法院可以依法撤销其监护人资格，并指定其他合适的监护人。

四、预防措施与建议

为了预防未成年人暴力犯罪的发生，除了对未成年犯罪人及其监护人进行法律追责和处置外，还需要从多个方面入手：

1. 加强家庭教育：家长应加强对未成年人的教育和监管，培养其良好的道德品质和行为习惯。
2. 完善学校教育：学校应加强对学生的法制教育和心理健康教育，及时发现和干预学生的不良行为和心理问题。
3. 强化社会监管：社会各界应共同关注未成年人的成长环境，加强对网吧、游戏厅等娱乐场所的监管，防止未成年人接触不良信息。
4. 建立专门矫治机构：对于无法适用刑罚的未成年人，应建立专门的矫治机构进行心理和行为矫治，帮助他们重新融入社会。

综上所述，对于未成年持刀故意伤人的案件，当地公安局在依法处理未成年犯罪人的同时，也会对其家中监护人进行相应的责任追究和处置。同时，为了预防类似案件的再次发生，还需要从家庭教育、学校教育、社会监管等多个方面入手，共同为未成年人的健康成长创造良好的环境。