当被告提出诉讼时效抗辩时，法院会遵循一系列严谨的法律程序和原则来确保案件的公正、公平处理。以下是对这一问题的详细解答：
一、诉讼时效抗辩的初步审查
审查抗辩的合法性：
- 法院首先会审查被告提出的诉讼时效抗辩是否符合《中华人民共和国民法典》的相关规定。根据民法典第一百九十二条，诉讼时效期间届满后，义务人可以提出不履行义务的抗辩，但已同意履行或已自愿履行的除外。
确认请求权是否适用诉讼时效：
- 法院还需确认案件所涉请求权是否适用诉讼时效规定。例如，赡养费、抚养费等基于身份关系的请求权，通常不适用诉讼时效。
审查抗辩的提出时间：
- 被告应在一审期间提出诉讼时效抗辩。若一审未提出而在二审期间提出，除非有新证据证明原告的请求权已过诉讼时效，否则法院一般不予支持。
二、抗辩成立时的处理
判决驳回原告诉讼请求：
- 若法院经审查认定被告的诉讼时效抗辩成立，即原告的请求权已超过法定的诉讼时效期间，且不存在中断、中止等法定事由，法院将判决驳回原告的诉讼请求。
对已履行部分的认可：
- 诉讼时效期间届满后，若被告已部分或全部履行了义务，则不得以诉讼时效抗辩为由要求原告返还已履行的部分。这是法律对义务人自愿履行行为的保护。
三、抗辩不成立时的处理
继续审理案件：
- 若法院认为被告的诉讼时效抗辩不成立，例如原告提供了有效的证据证明存在诉讼时效中断、中止的法定事由，或者案件所涉请求权不适用诉讼时效规定，法院将继续审理案件，并对实体问题进行审查和判断。
详细认定和说明诉讼时效相关事实：
- 在判决书中，法院将对诉讼时效相关的事实和法律适用进行详细的认定和说明，以阐明为何认定被告的诉讼时效抗辩不成立，从而增强判决的公信力和说服力。
四、法官在处理过程中的具体步骤
确定并计算时效期间：
- 法官会根据《民法典》的相关规定，明确涉案请求权的诉讼时效期间，并结合案件事实计算从权利人知道或应当知道权利受损之日起至提起诉讼之日止的时间跨度。
审查抗辩事由：
- 法官会对被告提出的抗辩理由进行实质审查，包括是否存在导致时效中止、中断的法定事由，并要求被告对抗辩事由承担举证责任。
法律适用判断：
- 法官会依据《民法典》的相关条款，综合判定抗辩事由是否符合法定构成要件，从而决定是否支持被告的抗辩主张。
五、其他注意事项
- 释明权行使：若被告未主动提出抗辩，法官不得依职权主动适用时效规定，但需向当事人说明相关法律规定及其后果。
- 诚信原则考量：对于恶意拖延诉讼、滥用抗辩权的行为，法官会结合《民法典》第七条规定的诚信原则进行综合评判。
- 类案裁判尺度统一：法官会参照最高人民法院发布的指导性案例及类案裁判规则，确保同类型案件的法律适用一致性。
综上所述，处理被告提出的诉讼时效抗辩需要法院准确把握法律规定和案件事实，依法进行审查和判断。同时，原告也应积极应对，确保自身权益得到有效维护。