当夫妻一方病逝后，其名下的银行存款处理确实是一个需要细致且合法合规进行的问题。以下是我为您详细梳理的处理步骤和注意事项：
一、首要步骤：确定存款性质
夫妻共同财产：根据《中华人民共和国民法典》，夫妻在婚姻关系存续期间所得的财产，通常被视为共同财产。因此，在一方去世时，这部分财产需要先进行均分，其中一半归在世配偶所有，另一半则作为去世一方的遗产。
个人财产：如果存款能够证明是去世一方的婚前财产，或者通过遗嘱、赠与合同等法定形式明确为个人所有，那么这部分存款将全额作为遗产进行分配。
二、遗产分配原则
遗嘱继承优先：如果去世一方留有合法有效的遗嘱，并且明确指定了存款的继承人或分配方式，那么将严格按照遗嘱来执行。遗嘱继承具有法律效力，优先于法定继承。
法定继承顺序：在没有有效遗嘱的情况下，遗产将按照《中华人民共和国民法典》规定的法定继承顺序进行分配。第一顺序继承人包括配偶、子女、父母；第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。通常情况下，遗产会由第一顺序继承人平均分配，但在特殊情况下（如生活困难、尽主要扶养义务等），分配比例可能会适当调整。
三、银行取款及手续办理
知晓密码的小额存款：对于一定额度内（具体额度因银行而异）的小额存款，如果继承人知晓账户密码，部分银行可能允许凭身份证直接支取。但这种情况相对有限，且不同银行可能有不同的规定。
未知密码或大额存款：对于未知密码或大额存款，继承人需要携带死亡证明、继承权证明（如遗嘱、公证书、法院判决书等）以及个人身份证明，前往公证处办理继承权公证，或者直接向法院提起诉讼解决争议。之后，凭有效的证明文件到银行办理存款的支取或过户手续。
四、特殊情况及注意事项
特殊情况处理：如果夫妻一方去世时，另一方因故无法履行抚养义务（如在服刑），孩子的抚养权将依据法律规定及实际情况，可能由在世一方的直系亲属或其他合适人选承担。同时，服刑一方仍享有探视等法定权利。
确保手续齐全：在提取存款前，务必确认所有所需文件（如死亡证明、亲属关系证明、遗嘱、继承权公证书等）均已准备齐全。
咨询专业意见：如果遇到疑问或困难，建议及时咨询专业律师或银行工作人员，以确保操作的合法性和顺利性。
不同银行差异：不同银行对于具体手续和要求可能存在差异。因此，在办理取款前，建议先与相关银行进行沟通，了解详细流程和所需材料。
综上所述，夫妻一方病逝后银行存款的处理需要严格遵循法律程序，并充分考虑各继承人的合法权益及实际情况。希望这些信息能够帮助您顺利处理相关事宜。