工厂随便开除工人，工人可以首先向当地的劳动监察部门投诉，或者依法申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、工厂随便开除工人的法律性质
工厂随便开除工人，通常属于违法解除劳动合同的行为。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同必须符合法定条件，并遵循法定程序。如果工厂未经合法程序或无正当理由开除工人，就构成了违法解除，需要承担相应的法律责任。
二、工人可以采取的维权途径
向劳动监察部门投诉：
- 工人可以向当地的劳动监察部门（如劳动保障监察大队）投诉工厂的违法行为。
- 劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行调查，并依法作出处理决定。
申请劳动仲裁：
- 如果投诉未能解决问题，工人还可以依法向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
- 劳动仲裁是解决劳动争议的一种法定方式，其裁决具有法律效力。
- 在申请劳动仲裁时，工人需要提交相关证据，如劳动合同、工资单、开除通知等，以证明工厂的违法行为。
三、工厂可能承担的法律责任
继续履行劳动合同：
- 如果工厂违法解除劳动合同，且工人要求继续履行的，工厂应当继续履行。
支付赔偿金：
- 如果工人不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，工厂应当按照经济补偿标准的二倍向工人支付赔偿金。
- 经济补偿标准通常根据工人在工厂的工作年限和工资水平来确定。
四、实际操作中的注意事项
保留证据：
- 工人在维权过程中，应当注意保留相关证据，如劳动合同、工资单、开除通知、工作证等，以证明自己的劳动关系和工厂的违法行为。
及时行动：
- 工人应当在知道或应当知道自己的权益被侵害之日起一年内申请劳动仲裁，否则可能会丧失维权的机会。
寻求专业帮助：
- 如果工人在维权过程中遇到困难或疑问，可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到充分保障。
总结来说，工厂随便开除工人是违法行为，工人有权向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。在维权过程中，工人应当注意保留证据、及时行动，并寻求专业帮助。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况为你提供详细的解答。