工厂随意开除员工属于违法行为，员工有权通过法律途径维护自身权益。具体来说，可以从以下几个角度分析和处理：
确认开除是否合法
工厂开除员工必须符合《劳动合同法》规定的情形，例如：
- 员工严重违反用人单位规章制度；
- 员工严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害；
- 员工被依法追究刑事责任等。
如果工厂无法证明开除行为符合上述法定情形，则属于违法解除劳动合同。
收集证据
员工应尽快收集与劳动关系相关的证据，包括：
- 劳动合同、工资条、考勤记录等证明劳动关系的材料；
- 工厂开除的书面通知或录音、聊天记录等证明开除事实的材料；
- 工厂规章制度（如有）及其是否经过民主程序制定、是否公示的证据。
这些证据将直接影响后续维权的效果。
维权途径
- 协商解决：员工可以尝试与工厂协商，要求继续履行劳动合同或支付赔偿金。
- 申请劳动仲裁：如果协商无果，员工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张违法解除劳动合同的赔偿金（通常为经济补偿金的2倍）。
- 提起诉讼：对仲裁结果不服的，员工可以向法院提起诉讼。
赔偿标准
如果工厂被认定为违法解除劳动合同，员工有权要求工厂支付赔偿金，计算方式为：
- 经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（工作满1年支付1个月工资，6个月以上不满1年按1年计算，不满6个月支付半个月工资）；
- 赔偿金 = 经济补偿金 × 2。
例如，员工工作3年，月工资为5000元，则赔偿金为3 × 5000 × 2 = 30000元。
注意事项
- 员工应在被开除后1年内申请劳动仲裁，逾期可能丧失维权权利；
- 避免签署任何可能损害自身权益的文件，如“自愿离职”声明；
- 如果工厂未缴纳社保或拖欠工资，员工可以一并主张相关权益。
建议：如果遇到工厂随意开除的情况，请保持冷静，及时收集证据并依法维权。如果有具体问题或需要进一步帮助，可以直接向我咨询。