结论：在下一个单位下班期间摔伤，原单位通常没有直接责任，但具体责任归属需根据摔伤的具体情况、与原单位及新单位的关系等多方面因素综合判断。以下从不同角度进行分析：

1. 与原单位的关系角度：

   • 劳动关系已终止：如果您已经与原单位解除了劳动关系，并正式入职新单位，那么在法律上，您与原单位之间的劳动关系已经终止。此时，您在下班期间摔伤，原单位通常不承担工伤赔偿责任，因为工伤赔偿的前提是存在劳动关系。
   • 劳动关系未终止：如果您虽然在新单位工作，但与原单位的劳动关系尚未正式终止（例如，存在未了结的离职手续、未结算的工资等），且摔伤与原单位的工作或环境有关（如因原单位的工作安排导致您在新单位下班期间仍需处理相关事务而摔伤），则原单位可能需承担一定责任。但这种情况较为复杂，需具体分析。

2. 摔伤原因及性质角度：

   • 个人原因摔伤：如果您在下班期间因个人原因（如走路不小心、未注意路况等）摔伤，且与工作无关，那么无论是原单位还是新单位，通常都不承担赔偿责任。这种情况下，您可能需要自行承担医疗费用等损失。
   • 工作原因摔伤：如果您在下班期间因工作原因（如因工作需要加班、参加单位组织的活动等）摔伤，且该工作与新单位或原单位有关，那么责任归属需根据具体情况判断。如果摔伤与新单位的工作直接相关，新单位可能需承担工伤赔偿责任；如果与原单位的工作有关（如因原单位的工作安排导致您在新单位下班期间仍需处理相关事务），则原单位可能需承担一定责任。

3. 法律适用及程序角度：

   • 工伤认定：无论责任归属如何，如果您认为摔伤属于工伤，首先需向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。工伤认定是确定工伤赔偿的前提和基础。
   • 法律适用：在判断责任归属时，需依据《工伤保险条例》、《劳动法》等相关法律法规进行。这些法律法规对工伤的定义、赔偿范围、赔偿程序等都有明确规定。
   • 诉讼或仲裁：如果各方对责任归属存在争议，且无法通过协商解决，您可能需要通过诉讼或仲裁等法律途径来维护自己的权益。

建议：

• 如果您在下班期间摔伤，且认为可能与工作有关，建议首先收集相关证据（如现场照片、证人证言、医疗记录等），以便后续维权。
• 及时向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请，以便确定是否属于工伤及赔偿范围。
• 如果对责任归属存在争议，建议咨询专业律师或法律机构，以便获得更具体的法律建议和帮助。

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