针对您提出的“出租的房屋到期后，原承租人既不退房也不签合同”的问题，以下是详细的法律分析和建议：

一、明确法律依据与合同状态

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第七百三十三条，租赁期限届满，承租人应当返还租赁物。这意味着，一旦租赁期满，承租人有义务将房屋归还给出租人。
   • 同时，根据《中华人民共和国民法典》第七百三十四条，若承租人继续使用租赁物且出租人未提出异议，原租赁合同继续有效，但租赁期限为不定期。在此情况下，任何一方均可随时解除合同，但需提前通知对方。

2. 合同状态：

   • 既然原租赁合同已到期，且双方未签订新的租赁合同，那么原合同在法律上已终止。若承租人继续占用房屋，且出租人未提出异议，则双方形成不定期租赁关系。但出租人有权随时要求承租人搬离，只需提前合理通知。

二、采取的具体措施

1. 协商沟通：

   • 友好协商：首先，建议您与承租人进行友好协商，了解其不退房的具体原因。若因特殊困难（如临时找不到新住处）导致无法按时退房，可尝试达成新的租赁协议或给予一定的宽限期。
   • 明确态度：在协商过程中，应明确表达您的立场，即租赁期已满，要求承租人尽快搬离，并结清水电费、物业费等相关费用。

2. 发送书面通知：

   • 限期搬离通知：若协商无果，您应正式向承租人发出书面通知，要求其限期搬离并结清费用。通知中需明确搬离期限（如3-7天）及逾期后果（如将采取法律手段追究责任）。
   • 送达凭证：为确保通知的有效性，建议您通过邮政特快专递（EMS）寄送，并在快递单上注明文件名称为“限期搬离通知”，保留快递底单和查询记录作为送达证明。

3. 寻求第三方调解：

   • 调解机构：若承租人仍拒绝搬离，您可邀请房屋所在地的社区居委会、街道办事处或物业管理公司等第三方机构进行调解。
   • 调解过程：向调解机构详细说明情况，并提供租赁合同、书面通知等相关证据，配合调解工作的开展。调解机构可能会协助双方达成和解协议。

4. 采取法律手段：

   • 提起诉讼：若调解无效，您可向房屋所在地法院提起民事诉讼，请求判令承租人腾退房屋并赔偿损失（如逾期占用期间的租金损失）。诉讼时需提交租赁合同、催告函、书面通知等证据材料。
   • 申请强制执行：若胜诉后承租人仍拒不履行判决，您可向法院申请强制执行。法院将依法对承租人进行强制清退，并可能对其采取罚款、拘留等措施。

三、注意事项

1. 避免自行强制清退：

   • 在处理此类纠纷时，您应避免采取过激行为，如擅自断水断电、更换门锁或强行搬离物品等。这些行为可能构成侵权甚至刑事犯罪，给您带来不必要的法律风险。

2. 证据保全：

   • 全程保存租赁合同、催告记录、沟通录音、书面通知、律师函、法院判决书等相关材料。这些证据将在后续的法律程序中发挥重要作用，为您的维权提供有力支持。

3. 及时止损：

   • 在纠纷解决期间，您可通过合法途径减少空置损失。例如，发布招租信息寻找新的承租人（但需注意不影响现有争议的解决）。若新承租人愿意等待纠纷解决后入住，您可与其签订意向协议并收取一定定金。

综上所述，面对出租房屋到期后承租人既不退房也不签合同的情况，您应通过协商、正式通知、第三方调解和法律途径等有序手段来维护自身权益。 若您在此过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。