结论：母亲因卖淫被拘留五天，一般情况下可以开具无犯罪记录证明，但具体能否开具还需结合实际情况判断。

分析说明：

1. 拘留与犯罪记录的区别：

   • 拘留是一种行政处罚措施，通常针对的是违反治安管理等行为，而非犯罪行为。犯罪记录则是指因犯罪行为被法院判处刑罚后留下的记录。
   • 在此案例中，母亲因卖淫被拘留五天，这属于行政处罚范畴，并不构成犯罪记录。

2. 无犯罪记录证明的开具条件：

   • 无犯罪记录证明通常用于证明个人在一定时期内没有犯罪记录，是求职、出国、办理某些业务等场合的常见要求。
   • 一般情况下，只要个人没有因犯罪行为被法院判处刑罚，就可以申请开具无犯罪记录证明。

3. 特殊情况考虑：

   • 尽管拘留本身不构成犯罪记录，但如果母亲在拘留期间或之后因其他犯罪行为被法院判处刑罚，那么她将无法开具无犯罪记录证明。
   • 此外，不同地区或机构对于无犯罪记录证明的开具要求可能有所不同，有些机构可能要求提供更详细的背景信息或进行额外的审查。

法律建议：

• 如果母亲需要开具无犯罪记录证明，建议她首先了解当地公安机关或相关机构的具体要求，并准备好必要的申请材料。
• 在申请过程中，母亲应如实提供个人信息和背景情况，避免隐瞒或虚假陈述，以免影响证明的开具或后续使用。
• 如果母亲在拘留期间或之后有任何犯罪行为或涉嫌犯罪的情况，她应及时向相关部门说明情况，并咨询专业律师以获取更具体的法律建议。

后续行动指引：

• 母亲可以直接前往当地公安机关或相关机构咨询无犯罪记录证明的开具流程和要求。
• 如果母亲在开具证明过程中遇到任何问题或困难，她可以随时向我咨询，我将根据她的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。